Si $\lim\limits_{x \to \infty} f'(x)>0$ $\lim\limits_{x \to \infty} f(x)= \infty$

Question

Quiero mostrar que:

Si $\lim\limits_{x \to \infty} f'(x)>0$ $\lim\limits_{x \to \infty} f(x)= \infty$

Mi intento: Desde $\lim\limits_{x \to \infty} f'(x)>0$ hay algo de $\delta >0$ tal que $\forall x>y\geq \delta \implies f(x)>f(y)$ i.e $f$ es el aumento en $[\delta,\infty)$.

¿Cómo proceder?

Answer 1

Al$\lim_{x\to \infty} f'(x)>0$, entonces hay un $x_0$ tal que $f'(x)>\varepsilon$ todos los $x>x_0$ y algunos $\varepsilon>0$ con el valor medio teorema tenemos $$f(x)-f(x_0)=f'(\xi) (x-x_0)$$ $x-x_0$ es no acotada y $f'(\xi)$ es estrictamente mayor a cero, de ahí que la derecha va a ir hasta el infinito al $x$ va al infinito.

Answer 2

Intuitivamente, si $\lim _{x\to \infty }f'(x)>0$, a continuación, para todos lo suficientemente grande como $x$ sostiene que $f'(x)>c>0$ para algunas constantes $c$. Que significa que la pendiente de $f$ al menos $c$, y por lo tanto que las funciones que crece al menos tan rápido como $cx$. Desde $\lim _{x\to \infty }cx=\infty $, el resultado de la siguiente manera.

Ahora, tome este intuitiva prueba y convertirlo en una verdadera prueba haciendo todos los pasos precisos. Usted querrá usar el valor medio teorema para obtener una precisa relación entre los valores de $f$ y los valores de $f'$.