Probar que si ${x_1, x_2, x_3}$ son raíces de ${x^3 + px + q = 0}$ ${x_1^3+x_2^3 + x_3^3 = 3x_1x_2x_3}$

Question

Cómo probar que ${x_1^3+x_2^3 + x_3^3 = 3x_1x_2x_3}$ sostiene que en el caso de ${x_1, x_2, x_3}$ son raíces del polinomio?

He probado el siguiente enfoque:

Si $x_1$, $x_2$ y $x_3$ son las raíces

$$(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3) = x^3+px+q = 0$$

Ahora encontrar el coeficiente cerca de las facultades de $x$:

$$ x^3 - (x_1 + x_2 + x_3)x^2 + (x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3)x - x_1x_2x_3 = x^3+px+q $$

Eso significa que puedo escribir un sistema de ecuaciones:

$$ \begin{cases} -(x_1 + x_2 + x_3) = 0 \\ x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = p \\ - x_1x_2x_3 = q \end{casos} $$

En este punto me quedé atrapado. He tratado de plantear $x_1 + x_2 + x_3$ a 3 poder y extender los términos, pero que no me des ideas. Se siente como que tiene que jugar con el sistema de ecuaciones de alguna manera, pero no estoy seguro de lo exacto.

Answer 1

$x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 - 3x_1x_2x_3 = (x_1 + x_2 + x_3)(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2-x_1x_2 - x_2x_3-x_1x_3)$

Ahora, aquí $-(x_1 + x_2 + x_3) =$ Coeficiente de $x^2$/ Coeficiente de $x^3 =0 $

Por eso, $x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 = 3x_1x_2x_3$

Answer 2

Reescribir $x_1,x_2,x_3$$a,b,c$. Desde el primer Vieta fórmula tenemos $$a+b+c=0$$ por lo $a+b=-c$ y así sucesivamente...

Ahora $$a^3+b^3+c^3= (a+b)(a^2-ab+b^2)+c^3 = c(\underbrace{-a^2+ab-b^2+c^2}_I)$$

Desde

$$I = -a^2+ab-b^2+c^2 = a(b-a)+(c-b)(c+b) = $$ $$a(b-a)-a(c-b) = a(2b-a-c)=a(2b+b)=3ab$$

Answer 3

Sugerencia: $\,x_1^3+px_1+q=0 \iff x_1^3=-px_1-q\,$, luego añadir las tres relaciones juntos:

$$\requieren{cancel} x_1^3+x_2^3+x_3^3=\cancelar{-p(x_1+x_2+x_3)}-3t=\cdots $$

Answer 4

Si $ x_1,x_2,x_3 $ son raíces de $ x^3+p x+q=0 $ $ x_1+x_2+x_3 = 0 $

Si $ x_1+x_2+x_3 = 0 $ $ x_3 = -(x_1+x_2) $ y

$ x_1^3+x_2^3+x_3^3 = x_1^3+x_2^3+(-1)^3(x_1+x_2)^3 = -3(x_1^2x_2+x_1x_2^2) = -3x_1x_2(x_1+x_2) = -3x_1x_2(-x_3) = 3x_1x_2x_3 $

Answer 5

Cada simétrica polinomio se puede expresar en términos de la primaria simétrica polinomios, en este caso $s_1=x_1+x_2+x_3$, $s_2=x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1$ y $s_3=x_1x_2x_3$. Desde $x_1^3+x_2^3+x^3$ es homogénea, podemos encontrar $a$, $b$ y $c$ tal que $$ x_1^3+x_2^3+x_3^3=as_1^3+bs_1s_2+cs_3 $$

• Para $x_1=1$, $x_2=0$, $x_3=0$: $1=a$
• Para $x_1=1$, $x_2=1$, $x_3=0$: $2=8a+2b$
• Para $x_1=1$, $x_2=1$, $x_3=1$: $3=27a+9b+c$

Por lo tanto $a=1$, $b=-3$, $c=3$ y, finalmente, $$ x_1^3+x_2^3+x_3^3=(x_1+x_2+x_3)^3-3(x_1+x_2+x_3)(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1)+3x_1x_2x_3 $$ Este es un resultado general.

En su caso, por Viète fórmulas $$ x_1+x_2+x_3=0,\qquad $$ así que al final $$ x_1^3+x_2^3+x_3^3=3x_1x_2x_3 $$