¿Límite de $\arctan(x)/x$ cuando $x$ se acerca a $0$?

Question

Pregunta rápida:

Me encontré con el siguiente límite: $$\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{\arctan(x)}{x}=1.$$ Parece ser el límite bien conocido: $$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1.$$ ¿Alguien puede mostrarme cómo demostrarlo?

Answer 1

Recuerda (ver el diagrama abajo) que para $0\le t<{\pi\over2}$:

$$\tag{1} \sin t \le t \le \tan t. $$ Tomando $t =\arctan x$ en $(1)$, tenemos, para $x>0$: $$ \sin\bigl(\arctan(x)\bigr)\le \arctan(x)\le x. $$ Pero $$ \sin\bigl(\arctan (x)\bigr) = {x\over \sqrt{1+x^2}}; $$ por lo tanto, para $x>0$: $$ {x\over \sqrt{1+x^2}}\le \arctan(x)\le x. $$ Así, para $x>0$, tenemos $$ {1\over \sqrt{1+x^2}}\le {\arctan(x)\over x}\le 1; $$ y se deduce del Teorema del Confronto que $$ \lim_{x\rightarrow0^+} {\arctan(x)\over x}=1. $$

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Answer 2

$$\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{\arctan(x)}{x}= \lim_{h\rightarrow 0^{+}}\frac{\arctan(0+h) -\arctan(0)}{h} = \arctan'(0) = \frac{1}{1+0^2} = 1$$

$$\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{\arctan(x)}{x}= \lim_{h\rightarrow 0^{+}}\frac{\arctan(0+h) -\arctan(0)}{h} = \arctan'(0) = \frac{1}{1+0^2} = 1$$

Answer 3

Si aún no tienes acceso (que suele ser el caso) a herramientas relativamente avanzadas como derivadas, la regla de L'Hopital y la expansión en series, aquí tienes una prueba muy simple:

Una vez que sepas:

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}= 1$$

Puedes demostrar que

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\tan x}{x}= 1$$

De hecho,

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\tan x}{x}= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x \cdot \cos x}= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{\cos x}= 1\cdot1 = 1$$

Ahora haces una simple sustitución:

$$t = \arctan x \implies x = \tan t$$

$$x \rightarrow 0 \implies t \rightarrow 0$$

Finalmente,

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\arctan x}{x} = \lim_{t \rightarrow 0} \frac{t}{\tan t} = 1$$ (el último límite es igual a $1$, como se demostró anteriormente).

Si en realidad buscabas la prueba $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ entonces hay muchas pruebas bonitas con el círculo unitario en internet. Tal vez podrías intentar con esta aquí.

Answer 4

Sea $x=\tan(\theta)$. Dado que $\lim\limits_{x\to0}\arctan(x)=0$, cuando $x\to0$, también tenemos que $\theta=\arctan(x)\to0$. Por lo tanto, $$ \lim_{x\to0}\frac{\arctan(x)}{x}=\lim_{\theta \to0}\frac{\theta}{\tan(\theta)}\tag{1} $$ y se muestra que $(1)$ es igual a $\frac11$ en la ecuación $(5)$ de esta respuesta.

Answer 5

Podemos hacer uso de la regla de L'Hopital. Dado que $\frac{d}{dx}\arctan x=\frac{1}{x^2+1}$ y $\frac{d}{dx}x=1$, tenemos $$\lim\limits_{x\to0^+}\frac{\arctan x}{x}=\lim\limits_{x\to0^+}\frac{1}{x^2+1}=1.$$