Es $A_{S}$ un anillo de fracciones o de una versión localizada del anillo?

Question

Deje $$A_{S}:=\Biggl\{\frac{a}{b}\in K\mid a\in A,b=1\vee b=st,\;\forall s,t\in S\Biggr\},$$ donde $K=Frac(A)$, $A\subset K$, $A$-integral de dominio y $0\not\in S\subset A$.

Es $A_{S}$ un anillo de fracciones o es una localizada en el anillo de la $S$ o ninguno? Creo que es un anillo de fracciones, pero me gustaría que alguien compruebe si estoy en lo correcto.

He aprendido que un anillo de fracciones es una construcción de este tipo de

$$S^{-1}A:=\Biggl\{\frac{a}{s}\in K\mid a\in A,s\in S\Biggr\}$$ where we insist on $S$ to be a multiplicative set, i.e., $1\S$ and $\forall s,t\S\Rightarrow st\in S$.

Qué significa en la anterior notación que $b=1\in S$? Porque, a continuación, $S$ es un conjunto multiplicativo y $A_{S}=S^{-1}A$ derecho?

Mientras que un localizada anillo es una estructura de un tipo de $$A_{P}:=\Biggl\{\frac{a}{b}\in K\mid a,b\in A \wedge b\not\in P\Biggr\}.$$ Pero aquí nos encargamos de localizar un anillo en un primer ideal $P$.

En mi libro he encontrado una declaración de que si $P$ es un alojamiento ideal, a continuación, $S=A\setminus P$ es un conjunto multiplicativo. Esto de alguna manera indica que la localización en $P$ es una manera de crear un anillo de fracciones. Es esto cierto?

Cualquier idea muy apreciada.

Answer 1

Existe cierta confusión en la notación. Algunos de los textos de uso $A_S$ donde otros usan $S^{-1}A$ para la misma cosa, cuando $S$ es un subconjunto multiplicativo de a $A$.

Yo también estaba un poco confundido cuando mi maestra me dijo que cuando $P$ es un alojamiento ideal, entonces podemos escribir $A_P$ como una abreviatura de $A_{A\setminus P}$. Desde entonces, siempre he usado la más clara la notación $S^{-1}A$.

La localización en un primer ideal es un caso especial de un anillo de fracciones. En el caso de $A$ es un dominio, todo es más fácil. Si $S$ es un subconjunto multiplicativo de a $A$ (es decir, $st\in S$ siempre $s\in S$$t\in S$), se puede definir $$ S^{-1}=\left\{\frac{a}{b}:\a,\, b\in S\cup\{1\}\right\} $$ y demostrar que este es un sub-anillo del cociente campo de $A$, precisamente el más pequeño sub-anillo donde cada elemento de a $S$ es invertible. Uno tiene que asumir la $0\in S$, de curso, de lo contrario un sub-anillo no existiría. Tenga en cuenta también que siempre no es restrictivo suponer que $1\in S$, debido a que $$ S_1^{-1}=S^{-1}Un $$ si $S_1=S\cup\{1\}$; $S_1$ es, obviamente, un subconjunto multiplicativo si $S$ es.

Al $P$ es un alojamiento ideal, $S=A\setminus P$ es un subconjunto multiplicativo que no contengan $0$, por lo que uno define $$ A_P=(A\setminus P)^{-1}Un $$ debido a que el énfasis se pone en $P$ más que su complemento. Sólo una cuestión de notación.

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Tenga en cuenta que las operaciones pueden ser llevadas también al $A$ no es un dominio. Sin embargo, la fracción debe ser definido con más cuidado. Consideramos el conjunto $A\times S$ y la relación de equivalencia en que se define por $(a,s)\sim(b,t)$ si existe $u\in S$$u(at-bs)=0$. Suponemos que $S$ es un subconjunto multiplicativo.

Uno puede mostrar que denota por $\dfrac{a}{s}$ la clase de equivalencia de a $(a,s)$ y la definición de $$ \frac{a}{s}+\frac{b}{t}=\frac{a+bs}{st},\qquad \frac{a}{s}\frac{b}{t}=\frac{ab}{st} $$ se obtiene una estructura de anillo en el cociente conjunto, denotado por a $S^{-1}A$.

Answer 2

Que es una especie de donde la intuición viene, es más de una forma de crear un campo de fracciones de una cierta primer ideal. Sin embargo, podemos recuperar el concepto de "campo de fracciones" porque $(0)$ es primo, y por lo tanto su cumplido cerrado bajo la multiplicación. Así, cuando localizamos en $(0)$ obtenemos el conjunto de todos los $p/q$, $p \in R$, $q \in R^*$ como se desee. Espero que esto es esclarecedor! Es una buena pregunta.

Para responder a tu primera pregunta, yo creo que lo que estás haciendo es esencialmente localizar en el elogio de la multiplicativo cierre de S.