Ayer empecé a escribir un artículo sobre la reformulación de la Hipótesis de Riemann.
Mi idea era la de asignar la función de tal manera que toda la trivial ceros fuera de la unidad de disco, y el no-trivial ceros están en el círculo. Iff RH es cierto, entonces el radio de convergencia (la distancia a la más cercana de la singularidad desde el origen de la serie de taylor) de la serie de taylor en representación recíproca de la función es $1$.
Después de algunas manipulaciones, tengo 2 conjeturas: http://mathoverflow.net/questions/212289/riemann-hypothesis-reformulation-lim-n-to-infty-sum-k-lnka-kn-over-n-s. (Tema eliminado de MO.)
Me gustaría saber si realmente implica RH, o me fue mal en alguna parte.
EDIT: he puesto la reformulación aquí:
$\zeta(s)$ tiene su no-trivial de ceros en la línea de $Re(s)=0.5$. Esto significa, que el de la serie de taylor de $$Z(s)={1\over\zeta\left(\frac{1}{2}+\frac{1+s}{1-s}\right)}$$ have its radius of convergence of $1$. (Yo mapa de la mitad derecha del plano a la unidad de disco, tan trivial ceros fuera de la disco).
Sus derivados dada por Cauchy de la integral de la fórmula, y teniendo el derecho de contorno $C$ tal que $C(t)=f^{-1}(t-(a-1/2)i)$ $f(z)=i(z+1)/(z-1)$ el mapa de $\mathbb{D}\to\mathbb{\overline{H}}$ serán $${Z}^{(n)}(0)=\frac{n!}{2\pi i}\int_{-\infty}^{\infty}{1\over \zeta(a+it)}C_n(t)\;dt$$ con $C_n(t)=C'(t)/C(t)^{n+1}$. WLG dejando $1.5>a>1$, y el uso de la de la serie de dirichlet para el recíproco de la función zeta, tengo \begin{align*}{Z}^{(n)}(0)&=\frac{n!}{2\pi i}\int_{-\infty}^{\infty}\left[\sum_{k=1}^\infty \frac{\mu(k)}{k^{a+it}}\right]C_n(t)\;dt\\&=\sum_{k=1}^\infty \frac{\mu(k)}{k^a}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{n!}{2\pi i}\frac{C_n(t)}{k^{it}}\;dt\\&=\sum_{k=1}^\infty \frac{\mu(k)}{k^a}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{n!}{2\pi i}g_k(C(t))C_n(t)\;dt\\&=\sum_{k=1}^\infty \frac{\mu(k)}{k^a}g^{(n)}_{k}(0).\end{align*}
$$g_k(t)=1/k^{iC^{-1}(t)}$$
En los últimos 2 pasos, he cambiado el contorno de la integral de la derivada de una función en serie, dándose cuenta de que $g\circ C(t)=1/(k^{it})$. La única singularidad de $g$$1$, pero $g$ está delimitada en el interior del contorno, por lo que pense la integral y la derivada es la misma.
Para después tener los límites definidos, definir la función de $d\colon\mathbb{N}\mapsto \mathbb{N}$ tal que $d(n)$ da $n$th plaza libre entero. $$Z^{(n)}(0)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\mu(d(k))}{d(k)^2}g^{(n)}_{d(k)}(0)$$
1. conjetura: Mediante la prueba de razón me llevó a mi primera pregunta aquí, tal que, dada una serie $$A(n)=\sum_{k=1}^{\infty}a_k(n),$$ $$a_k(n)=\frac{\mu(d(k))}{n!d(k)^2}g^{(n)}_{d(k)}$$ with $|a_k(n)/a_k(n+1)|\1$ (Taylor series of $g$ about the origin have its radius of conv. 1) as $n\to \infty$, it is true that $$\lim_{n\to \infty}\left|\frac{A(n)}{A(n+1)}\right|=1.$$ supongo que es cierto para algunas series el cumplimiento de determinadas condiciones, pero no puedo demostrarlo.
2. conjetura: el Uso de la recurrencia de la relación de los coeficientes (debido a WolframAlpha): $na_k(n)+(n+2)a_k(n+2)-2(n+1-\ln(k))a_k(n+1)=0$, $$\lim_{n\to \infty}{\sum_k\ln(k)a_k(n)\over\sum_kna_k(n)}=0$$ implicaría RH.
¿Demostrando el 2 conjeturas por encima de demostrar la hipótesis de Riemann?
Creo que podría ser también de GRH de Dirichlet L-función con un poco de cambio, y con una buena selección de $a$ a garantizar la convergencia.
