Mostrar $a+bi \equiv 0,1 \pmod{1+i}$

Question

Se trata de un problema (self-studier) de Ireland & Rosen (3.23):

Mostrar $a+bi \equiv 0,1 \pmod{1+i}$ con $a,b \in\mathbb{Z}$ .

Se ofrece una extensa pista/solución, algunas de cuyas partes agradecería que me ayudaran a entender.

Para empezar, dice $i\equiv -1(1+i)\pmod{1+i}$ Aquí no hay problema.

Luego dice escribe $a+ib \equiv a-b \pmod{1+i}$ . Aquí creo que el $a$ permanece intacta desde $(1+i) \nmid a$

Escriba a $a-b$ como $2c+d$ donde $d=0,1$ . Esto tiene sentido ya que $a,b$ son enteros y su diferencia será par o impar.

Así que aquí es donde estoy atascado.

Entonces $a+ib \equiv a-b \equiv 2c+d \equiv d\pmod{1+i}$

¿Cómo se $2c \equiv 0 \pmod{1+i}$ cuando $a$ no estaba unas líneas más arriba, ya que ambos están en $\mathbb{Z}$ .

Gracias

Answer 1

Creo que las dos equivalencias $$a + bi \equiv a - b \pmod{1 + i}$$ y $$s \equiv 0, 1 \pmod 2 \qquad s \in \mathbb{Z}$$ junto con el comentario de Andre $1 + i \mid 2$ ofrece una solución sencilla.

Answer 2

$a + ib \equiv a + (-1)b$ porque acabamos de demostrar que $i \equiv -1$ .

Pero $i \equiv -1$ implica $1 = -1 \cdot -1 \equiv i \cdot i = -1$ . Suma 1 a ambos lados para obtener $2 \equiv 0$ . Todas las equivalencias módulo $(1+i)$ .

Answer 3

Tenga en cuenta que $2=(1+i)(1-i)$ Así que $(1+i)\mid 2$ .

Observación : Puede ser más útil demostrar que $1+i$ divide $a+bi$ sólo si $a$ y $b$ son ambos pares o ambos Impares.