Desigualdad en función cardinal: $|X|\le 2^{s(X)\psi(X)}$

Question

¿Cómo demostrar que $|X|\le 2^{s(X)\psi(X)}$ usando el teorema de Erdos-Rado cuando $s(X)=\psi(X)=\omega$?

$s(X)=\sup \{ |D|: D \subset X, D \text{ es discreto} \} + \omega $

$\psi(X)= \sup\{\psi(p,X): p \in X\} + \omega$, $\psi(p,X)=\min \{ |\mathcal V|: \mathcal V \text{ es una pseudo-base para } p \}$

Teorema de Erdos-Rado: Sea $\kappa$ un cardinal infinito. Sea $E$ un conjunto con $|E|>2^\kappa$, y supongamos que $[E]^2=\bigcup_{\alpha<\kappa}P_\alpha$. Entonces existe $\alpha<\kappa$ y un subconjunto $A$ de $E$ con $|A|>\kappa$ tal que $[A]^2\subset P_\alpha$.

¡Gracias de antemano!

Answer 1

Supongamos que $X$ es $T_1$, y $\psi(X)\le\kappa$. Supongamos además que $|X|>2^\kappa$; Demostraré que $X$ tiene un subconjunto discreto de cardinalidad $\kappa^+$.

Sea $\preceq$ un orden lineal en $X$, y para cada $x\in X$ sea $\mathscr{V}_x=\{V_\xi(x):\xi<\kappa\}$ una familia de entornos abiertos de $x$ tales que $\bigcap\mathscr{V}_x=\{x\}$. Ahora particionamos $[X]^2$ de la siguiente manera: para cada $\langle\xi,\eta\rangle\in\kappa\times\kappa$ sea

$$\mathscr{I}(\xi,\eta)=\left\{(x,y)_\preceq:x\prec y\text{ y }y\notin V_\xi(x)\text{ y }x\notin V_\eta(y)\right\}\;.$$

Por supuesto $|\kappa\times\kappa|=\kappa$, por lo que el teorema de Erdős-Rado se aplica para otorgarnos un $D\subseteq X$ y $\langle\xi,\eta\rangle\in\kappa\times\kappa$ tal que $|D|=\kappa^+$, y $[D]^2\subseteq\mathscr{I}(\xi,\eta)$. Sea $x\in D$; entonces claramente

$$V_\xi(x)\cap V_\eta(x)\cap D=\{x\}\;,$$

y $D$ es de hecho discreto. Así, $s(X)\ge\kappa^+$. Tomando la contrapositiva, tenemos

$$|X|\le 2^{s(X)\psi(X)}$$

para todos los espacios $T_1$- $X$.