Si $-1 < a < 1$$\sqrt[4]{1-a^2} + \sqrt[4]{1-a} + \sqrt[4]{1+a} < 3$?

Question

Probar que si $-1<a<1$, entonces :

$\sqrt[4]{1-a^2} + \sqrt[4]{1-a} + \sqrt[4]{1+a} < 3 $

No sé cómo acercarse a este problema. Aquellos cuarto raíces confundirme mucho.

Cualquier ayuda se agradece.

También me gustaría saber cómo el lado izquierdo de la desigualdad se comporta si no existen límites fijados por el valor de $a$.

Gracias de antemano :) .

Answer 1

Es equivocado, por supuesto. Intente $a=0$.

$\sqrt[4]{1-a^2} + \sqrt[4]{1-a} + \sqrt[4]{1+a}\leq3$ es cierto.

De hecho, por P-M $(x+y+z)^4\leq27(x^4+y^4+z^4)$.

Esta desigualdad se sigue también de Titular y más:

$$(1+1+1)^3(x^4+y^4+z^4)\geq(x+y+z)^4$$

Por lo tanto, $$\left(\sqrt[4]{1-a^2} + \sqrt[4]{1-a} + \sqrt[4]{1+a}\right)^4\leq27(1-a^2+1-a+1+a)=27(3-a^2)\leq81$$ y hemos terminado!

Answer 2

Vamos $f:[-1,1] \to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt[4]{1-x}+\sqrt[4]{1+x}+\sqrt[4]{1-x^2}$.

$f$ es obvously continua y differentable en $(-1,1)$

Entonces: $$f'(x)=\frac{\sqrt[4]{(1-x)^3}-\sqrt[4]{(1+x)^3}-2x}{4\sqrt[4]{(1-x^2)^3}}$$ De curso $4\sqrt[4]{(1-x^2)^3} \leq 0$ todos los $x\in[-1,1]$.

• para $x>0$ : $\sqrt[4]{(1-x)^3}<\sqrt[4]{(1+x)^3}$ $-2x<0$ , lo $f'(x)<0$ $f$ es la disminución de la
• para $x<0$ : $\sqrt[4]{(1-x)^3}>\sqrt[4]{(1+x)^3}$ $-2x>0$ , lo $f'(x)>0$ $f$ es el aumento de
• para $x=0$ : $f'(x)=0$ y $f(x)=3$

Ahora podemos deducir, que el $$\forall{x\in [1,1]}: f(x)\leq 3$$

Los límites para la $a$ son requeridas, debido a que el número bajo de la cuarta raíz debe ser no negativo