La integración de $\sin(y^2)$

Question

He estado atrapado en esto durante más de media hora ahora y es bastante frustrante.

$$\int_{0}^{9} \frac {y\sin(y^2)}{2}\,dy$$

Doble ángulo fórmula no es utilizable aquí porque estaban tratando con $\sin(y^2)$ e no $\sin^2(2y)$ o algo así. Odio ser este tipo de pregunta-cartel, pero yo realmente no sé por dónde empezar. Traté de partes, dejando

$u=\frac{y}{2}$ $dv=\sin(y^2)$ , pero estoy atascado en la integración de la $\sin(y^2)$ y realmente me gustaría un poco de ayuda en esto.

Answer 1

Sugerencia: hacer $u=y^2$ $du=2y\,dy$

Answer 2

Sugerencia

$$ I=\int_{0}^{9} \frac {y\sin(y^2)}{2}\,dy=\frac14\int_0^92y\sin(y^2)\,dy. $$ Supongo que el $u$ de sustitución es muy clara.

Estoy seguro de que usted puede tomar a partir de aquí.

Answer 3

$$\int_{0}^{9} \frac {y\sin(y^2)}{2}\,dy = \int_{0}^{9} \sin(y^2)\,dy^2 =-\cos (y^2)\big|_{0}^9=1-\cos 81$$

Answer 4

Todo el mundo está en el clavo con el uso de la sustitución.

No todo el mundo entiende cómo detectar una sustitución problema, aunque. La idea detrás por medio de la sustitución es tomar una integral que se ve como Usain Bolt y convertirlo en el niño que es la última en ser elegida en la clase de gimnasia. En nuestro caso vemos a $\,sin(y^{2})\,$ y pensar "woah, almeja abajo satanás". Sin embargo, también notamos que hay un $y$ fuera de la $sin$ expresión. La bombilla de luz dentro de nosotros todas las luces y nos damos cuenta de que podemos utilizar la sustitución. Si dejamos $u = y^{2}$ la integral se convierte en

$$ \int_{0}^{9} \frac{y \sin(y^{2})}{2}dy \,=\, \int_{0}^{9} \frac{y \sin(u)}{2}dy $$

También tenemos para asegurarse de que los límites de nuestra integración en el cambio de modo con el original de entradas y nuestras nuevas aportaciones que hemos $u = y^{2} \,\Rightarrow\, u = 0^{2} \,=\, 0$$u = y^{2} \,\Rightarrow\, u = 9^{2} \,= \,81$. Esto nos deja con la integral

$$ \int_{0}^{9} \frac{y \sin(u)}{2}dy \, = \, \int_{0}^{81} \frac{y \sin(u)}{2}dy$$

Por desgracia, nuestro sustitución no está completo. Todavía tenemos ese niño que se niega a poner desodorante después de un gimnasio, o en nuestro caso: $dy$. Mirando a nuestro original sustitución tenemos $u = y^{2}$. Si tomamos la derivada de esta ecuación tenemos

$$ u = y^{2} \,\Rightarrow \, \frac{du}{dy} = 2y $$

Hola mira, hay un $dy$ en allí. Vamos a seguir adelante y reconocer el hecho de que nuestro desodorante menos la clase de mate es apestoso y lo separan del grupo

$$ \frac{du}{dy} = 2y \;\Rightarrow\; du = 2y \, dy \;\Rightarrow\; dy = \frac{du}{2y}$$

Afortunadamente para nuestras fosas nasales nuestro huele mal amigo, $dy$, es reemplazado por $du\,/\,2y$. Nos da

$$ \int_{0}^{81} \frac{y \sin(u)}{2}dy \, \Rightarrow \, \int_{0}^{81} \frac{y \sin(u)}{2} \frac{du}{2y}$$

La simplificación más nos damos cuenta de $y$ puede chupar y salir de aquí. Esto nos deja con

$$ \int_{0}^{81} \frac{y \sin(u)}{2} \frac{du}{2y} \Rightarrow \int_{0}^{81} \frac{\sin(u)}{4}du$$

Por último podemos invitar cordialmente a la $\frac{1}{4}$ dentro de la integral a esperar pacientemente hasta que los adultos dentro de la integral de terminar sus negocios. Nos dejan con la integración final

$$ \frac{1}{4} \int_{0}^{81} \sin(u) \, du$$