¿Por qué necesitamos isomorfismos admisibles para la teoría de Galois diferencial?

Question

Antecedentes: En Kaplansky la Introducción a la Diferencial Álgebra, un isomorfismo entre el diferencial de campos de $K, L$ está definido para ser admisible si $K,L$ están contenidos en un mayor diferencial de campo $M$. Esto parece ser una parte integral del desarrollo en su libro. Por ejemplo, Kaplansky demuestra el teorema de que si $K, L$ están contenidos en un diferencial de campo $M$ $f: K \to L$ es un diferencial de isomorfismo, entonces no es admisible de isomorfismo $g: M \to M'$ extender $f$, utilizando diversos diferencial de los análogos de los resultados de álgebra conmutativa (por ejemplo, de que un radical ideal es un punto de intersección del primer ideales), que no son del todo necesarias en el ordinario de la teoría de campo (hasta donde yo sé, de todos modos).

Me parece la definición, difícil de entender, en parte, porque no es la flecha de la teoría de la; sería de gran ayuda para tener una más categórica idea de que pensar en términos de subconjuntos. Por otra parte, en el caso de Picard-Vessiot extensiones (que si he entendido bien es lo diferencial de la teoría de Galois se centra en a), cualquier admisible isomorfismo es un automorphism de todos modos.

Algunas google sugiere que uno quiere tomar la (diferencial?) compositum entre un diferencial de campo y a su imagen, en virtud de la admisión de un isomorfismo. También, tengo la sospecha de que la ausencia de un análogo de el concepto algebraico de cierre puede ser relevante aquí, pero no estoy del todo seguro.

Pregunta: ¿en qué medida es la restricción de la admisibilidad necesario o útil, y si no hay manera de evitar que el diferencial campos, ¿por qué puede uno desarrollar ordinario de la teoría de Galois sin mencionar?

Y si es inevitable, es allí cualquier manera de pensar de la misma manera categórica?

Answer 1

La expansión en Gjergji Zaimi la respuesta de (1) una hipótesis de admisibilidad es innecesario y (2) el contexto adecuado para Galois diferencial teorías basadas en las propiedades de extensiones de diferencial de campos como contraposición a las ecuaciones diferenciales es algo más general que la fuerza normal de Galois diferencial teoría de Kolchin.

No es un análogo de la noción de una clausura algebraica de un diferencial de campos, llamados restringido cierre por Kolchin y de su escuela y un diferencial de cierre en el modelo teórico de la literatura.

Especializada de característica cero, un diferencial de cierre de $(L,\partial_1,\ldots,\partial_n)$ de un diferencial parcial campo de $(K,\partial_1,\ldots,\partial_n)$ es un diferencial de campo de extensión que tiene la propiedad de que $L$ es diferencialmente cerrado, lo que significa que cada sistema finito de ecuaciones diferenciales $L$ que tiene una solución en algunos diferencial de campo de extensión de $L$ ya tiene una solución en $L$ y es universal para diferencialmente campo cerrado extensiones de $K$ en el sentido de que si $K \hookrightarrow M$ es una incrustación de $K$ en un diferencialmente campo cerrado, entonces no es una incrustación de $L$ a $M$$K$. El diferencial de cierre de un diferencial de campo $K$ es único hasta el isomorfismo $K$, pero a diferencia de la clausura algebraica no es mínima. Es decir, si $L$ es el diferencial de cierre de $K$, entonces no puede ser un diferencial de campo cerrado $M$ contiene $K$ y correctamente contenida en $L$.

Más en general, de Galois diferencial de la teoría que he mencionado anteriormente se explicó en el papel Pillay, Anand Diferencial de la teoría de Galois. I. Illinois J. Math. 42 (1998), no. 4, 678 699--al menos en el caso de los diferenciales ordinarias campos. A diferencia de Kolchin la teoría, es posible tener diferencial algebraica de los grupos (en lugar de simplemente algebraica de los grupos) grupos de Galois.

Answer 2

Creo que no he visto la terminología de "admisible isomorfismo" que se utiliza en el diferencial de la teoría de Galois, excepto para Kaplansky del libro. Supongo que en E. Kolchin's de trabajo todo lo que se supone que se encuentran en una universal diferencial de extensión, y por lo tanto no hace la distinción.

Su observación acerca de Picard-Vessiot extensiones es correcto, y no creo que uno necesita de la noción de admisibilidad para desarrollar ordinario Picard-Vessiot la teoría, que es una teoría basada en la "ecuación". De hecho, los esfuerzos que realizan en el momento en que se centraron en el desarrollo de una teoría de Galois diferencial de campos que no necesariamente asociados a ecuaciones diferenciales (pero tenía que ser una generalización de la energía FOTOVOLTAICA, por supuesto). Sin embargo, muchos de los problemas surgen cuando uno toma esta "extensión" enfoque en el hecho de encontrar la noción de derecho de una extensión normal no es fácil. Clásicamente un campo de extensión de la $M$ $K$ es normal si cada isomorfismo en algún campo de la extensión de $M$ es un automorphism. Sin embargo, la declaración equivalente por diferencial álgebra implica que $M$ es algebraico sobre $K$ y que es demasiado fuerte (de hecho esta es una de las principales razones por las que uno tiene que permitir admisible isomorphisms). Aquí están dos de los primeros acercamientos a la normalidad:

$M$ es débilmente normal si $K$ es el campo fijo del conjunto de todas diferencial de automorfismos de a$M$$K$.

Al parecer, esta definición no fue muy fructífera, y no mucho podría ser probado. El siguiente paso fue la siguiente definición:

$M$ es normal $K$ si es débil de lo normal en todos diferencial intermedio campos.

Este no era mala y Kolchin podría ser que el mapa de $L\to Gal(M/L)$ donde $K\subset L\subset M$ bijects en un cierto subconjunto de los subgrupos de $Gal (M/K)$. Sin embargo, la caracterización de estos subconjuntos fue una pregunta abierta (Kolchin se refirió a ella como una mancha). La propiedad que se estaba perdiendo ya estaba allí, en la teoría de ecuaciones, como la existencia de una superposición de fórmula (que cada solución es cierto diferencial función racional de las soluciones fundamentales y algunas constantes). La sección pertinente en Kaplansky del libro es sec 21. Ahora admisible de isomorfismo de $M$ $K$ es un diferencial de isomorfismo, la fijación de $K$ elemento sabio, de $M$ a un subcampo de un mayor diferencial de campo $N$. Por lo tanto, la admisión de un isomorfismo $\sigma$ vamos a considerar el compositum $M\cdot \sigma(M)$, la cual es crucial para la traducción de una superposición principio a campo de extensiones. De hecho, si uno denota $C(\sigma)$ a a ser el campo de las constantes de la $M\cdot \sigma(M)$, luego Kolchin definido admisible de isomorfismo $\sigma$ a ser fuerte si es que la identidad en el campo de las constantes de la $M$ y satisface $$M\cdot C(\sigma)=M\cdot \sigma(M)=\sigma (M)\cdot C(\sigma)$$

Esta fue la correcta interpretación de lo que estaba sucediendo en el PV caso, de manera que una fuertemente normal de extensión de la $M$ $K$ se define como una extensión donde $M$ es finitely generado más de $K$ como un campo diferenciable, y cada admisible isomorfismo de $M$ $K$ es fuerte. Ahora la teoría se convirtió más completa. $Gal(M/K)$ puede ser identificado con algebraica de grupo y hay un bijection entre el intermedio de los campos y el cierre de los subgrupos. Ahora, este incorpora finita normal extensiones (al $Gal(M/K)$ es finito), Picard-Vessiot extensiones (al $Gal(M/K)$ es lineal) o de Weierstrass extensiones (al $Gal(M/K)$ es isomorfo a una curva elíptica).

Para una mejor exposición de esta, a ver si usted puede encontrar "Algebraica de los Grupos y la Teoría de Galois en el Trabajo de Ellis R. Kolchin" por Armand Borel.