Demostración de la propiedad de Hausdorff para $\kappa$ -espacios métricos

Question

Quiero demostrar que el Propiedad de Hausdorff es válida para todos los $\kappa$ -espacios métricos.

Para $\kappa \neq 1$ , $(X,d)$ es un $\kappa$ -espacio métrico si $X$ es un conjunto y $d$ es una función $X\times X \rightarrow \mathbb R$ tal que para cada $x,y,z \in X$

$1$ . $d(x,y)\ge 0$

$2$ . $d(x,y)=d(y,x)$

$3$ . $d(x,y)=0 \iff x=y$

$4$ . $d(x,z)\le \kappa [d(x,y)+d(y,z)]$ .

Ponemos una topología en $X$ diciendo $U\subseteq X$ es abierto si para cada $x\in U$ existe un $\epsilon>0$ tal que $B_d(x,\epsilon)\subseteq U$ .

En mi intento de prueba, toma dos puntos distintos $x,y\in X$ tal que $d(x,y)=\epsilon$ .

Toma los balones abiertos $B_d\left(x,{\epsilon\over {3\kappa}}\right)$ et $B_d\left(y,{\epsilon\over {3\kappa}}\right)$ . Entonces se puede demostrar que $$B_d\left(x,{\epsilon\over {3\kappa}}\right)\cap B_d\left(y,{\epsilon\over {3\kappa}}\right)=\emptyset.$$ Porque digamos que hay $z\in B_d\left(x,{\epsilon\over {3\kappa}}\right)\cap B_d\left(y,{\epsilon\over {3\kappa}}\right)$ . Entonces $$d(x,y)\le \kappa \left[{\epsilon\over {3\kappa}}+{\epsilon\over {3\kappa}}\right]\\={2\over 3}{\epsilon}\\\lt \epsilon$$ lo que da una contradicción.

Por lo tanto, hemos encontrado dos bolas abiertas en $X$ que no se cruzan.

En este punto estaba pensando que se ha demostrado la propiedad de Hausdorff para estos espacios, pero luego recordé que bolas abiertas en $\kappa$ -el área de los espacios métricos no es necesariamente un conjunto abierto . Y para que un espacio sea Hausdorff , necesitamos encontrar, para dos puntos distintos cualesquiera, dos puntos disjuntos conjuntos abiertos cada uno de los cuales contiene uno de ellos.

Así que la prueba anterior de la propiedad de Hausdorff en $\kappa$ espacio métrico está mal.

Por favor, ayúdeme a probar esto.

Answer 1

Puedes preparar tu idea para construir inductivamente conjuntos abiertos de la siguiente manera. Fijar $x\neq y$ definiremos dos secuencias de conjuntos $U_0\subseteq U_1\subseteq U_2\subseteq\dots$ et $V_0\subseteq V_1\subseteq V_2\subseteq\dots$ por inducción. Estos conjuntos tendrán la propiedad de que para cada $n$ , $d(U_n,V_n)>0$ (donde $d(U_n,V_n)=\inf\{d(p,q):p\in U_n, q\in V_n\}$ ).

Comenzamos con $U_0=\{x\}$ et $V_0=\{y\}$ . Dado $U_n$ et $V_n$ , dejemos que $\epsilon=d(U_n,V_n)$ y definir $$U_{n+1}=\bigcup_{p\in U_n} B_d(p,\epsilon/3\kappa^2)$$ et $$V_{n+1}=\bigcup_{q\in B_n} B_d(q,\epsilon/3\kappa^2).$$

Debemos demostrar que $d(U_{n+1},V_{n+1})>0$ ; dejar que $r\in U_{n+1}$ et $s\in V_{n+1}$ . Entonces hay $p\in U_n$ et $q\in V_n$ tal que $d(p,r)<\epsilon/3\kappa^2$ et $d(s,q)<\epsilon/3\kappa^2$ . Entonces tenemos $$d(p,q)\leq \kappa^2(d(p,r)+d(r,s)+d(s,q))<\frac{2\epsilon}{3}+\kappa^2d(r,s).$$

Pero $d(p,q)\geq d(U_n,V_n)=\epsilon$ Así que esto nos da $d(r,s)>\epsilon/3\kappa^2$ . Así, $d(U_{n+1},V_{n+1})\geq \epsilon/3\kappa^2>0$ .

Ahora dejemos que $U=\bigcup U_n$ et $V=\bigcup V_n$ . Entonces $U\cap V=\emptyset$ ya que $U_n\cap V_n=\emptyset$ y las secuencias $(U_n)$ et $(V_n)$ son ascendentes. También, $x\in U_0\subseteq U$ et $y\in V_0\subseteq V$ . Finalmente, $U$ et $V$ son abiertos, ya que para cualquier $p\in U$ , $p\in U_n$ para algunos $n$ y luego $U_{n+1}$ contiene una bola alrededor de $p$ (y de forma similar para $V$ ). Así, $U$ et $V$ son conjuntos abiertos disjuntos que contienen $x$ et $y$ Así que $X$ es Hausdorff.

En términos más generales, este argumento demuestra que si $A,B\subseteq X$ et $d(A,B)>0$ entonces $A$ et $B$ pueden estar separados por conjuntos abiertos (basta con tomar $U_0=A$ et $V_0=B$ ).