Deje $P=[a,b]\times (c,d)$. Supongamos que hemos determinado$n$$(x_1,y_1),...,(x_n,y_n)\in P$, de tal manera que $x_i\neq x_j$ $i\neq j$; $i,j=1,...,n$. ¿Existe un polinomio $f$ tal que $f(x_i)=y_i$$i=1,...,n$$c<f(x)<d$$x \in [a,b]$?
Respuesta
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Por supuesto, la interpolación de Lagrange le dará un polinomio de pasar por todos los puntos, pero no hay garantías de obedecer los límites. Pero creo que hay una forma más fuerte de interpolación que permite obtener máximos o mínimos en la interpolación de puntos (véase la interpolación de Hermite en, por ejemplo, http://en.wikipedia.org/wiki/Hermite_interpolation), y creo que puede solucionar el problema. Para cada una de las $i$ si $y_i$ es mayor que el de $y_{i-1}$$y_{i+1}$, hacen que el polinomio tiene un máximo local en a $x_i$; si $y_i$ es menor que el de $y_{i-1}$$y_{i+1}$, hacen que el polinomio tiene un mínimo local en a $x_i$. Para evitar el mal comportamiento a la izquierda de $x_1$ y a la derecha de $x_n$, agregar, por ejemplo, un máximo local en a $(a,d)$ y un mínimo local en a $(b,c)$.
