¿El teorema de la función implícita implica Peano teorema de existencia

Question

En El teorema de la función implícita escrito por Krantz Y Parques, se dice que el teorema de la función implícita implica el siguiente teorema de existencia de la educación a distancia:

Teorema 4.1.1 Si $F(t,x)$, $(t,x)\in\mathbb R\times\mathbb R^N$, es continua en el $(N+1)$-dimensional de la región de $(t_0-a,t_0+a)\times B(x_0,r)$, entonces existe una solución $x(t)$ de $$\frac{dx}{dt}=F(t,x),\qquad x(t_0)=x_0$$ definida sobre un intervalo de $(t_0-h,t_0+h)$.

Es Peano teorema de existencia, creo. Sin embargo, parece que hay una brecha en su prueba. WLOG, supongamos $t_0=0$. Ellos construyeron $\mathcal H\colon[0,1]\times\mathcal B_1\to\mathcal B_0\times\mathbb R$ donde $\mathcal B_0$ es el espacio delimitado continua $\mathbb R^N$funciones con valores en $(-a,a)$ normativa canónicamente, y $\mathcal B_1$ es el espacio delimitado continuamente diferenciable $\mathbb R^N$funciones con valores en $(-a,a)$, que también tienen una limitada derivados, normativa canónicamente por $\sup\lvert f\rvert+\sup\lvert\dot f\rvert$, como sigue: $$\mathcal H[\alpha,X(\tau)]=[X'(\tau)-\alpha F(\alpha\tau,X(\tau)),X(0)-x_0]$$. Tenga en cuenta que $\mathcal H[0,x_0]=[0,0]$ donde $x_0$ en el lado izquierdo indica la función constante. Luego dicen que el teorema de existencia se sigue del teorema de la función implícita. Sin embargo, bajo la única condición de que $F$ es continuo, no hay evidencia de que $\mathcal H$ está parcialmente diferenciable con respecto a $X$$\alpha\in(0,x_0)$.

Podemos solucionar la anterior prueba en alguna medida?

PS: he publicado la pregunta no sólo porque quiero comprender una prueba, pero además quiere entender la relación entre educación a distancia y funciones implícitas. Parece cierto que tal prueba no puede estar bien, ya que la canónica teorema de la función implícita es también un teorema de unicidad, lo que implica el local de la unicidad de una solución de la educación a distancia. Sin embargo, quiero saber cómo solucionarlo. Dudo que se pueda confiar en una más general del teorema de la función implícita.

Answer 1

Observar que hemos Fréchet-la diferenciabilidad en el segundo argumento, en el punto donde desea que la función implícita. En efecto, la función $T: Y \mapsto (Y', Y(0))$ es lineal, y hemos $$ \lim_{Y \to 0} \frac{\mathcal H(0, X + Y) - (\mathcal H(0, X) + T(Y))}{\|S\|_1} = \lim_{Y \to 0} \frac{(0, 0)}{\|Y\|_1} = 0, $$ cual es la razón por la $d_2 \mathcal H(0, x_0)$ existe y es igual a $T$. Tenga en cuenta que $T$ es invertible, ya que $Y(0)$ determina la constante de integración. Además, podemos obtener la siguiente versión modificada del teorema 3.4.10:

Deje $X, Y, Z$ ser espacios de Banach. Vamos $U \times V \subseteq X \times Y$, $g : U \times V \to Z$ y deje $(x, y) \in U \times V$ tal que $d_2(x, \cdot)$ existe y $G$ es continua y $G(x, y) = 0$, y más allá de que exista $W \subseteq V$ tal que $y \in W$ $G(z, w) \to G(x, w)$ $z \to x$ uniforme para $w \in W$. Entonces no existe $M \subseteq U$ $N \subseteq W$ tal que para cada una de las $\xi \in X$, no existe un único $\eta \in M$ tal que $G(\xi, \eta) = 0$ y por tanto se define la función es continua.

En la prueba, se reemplaza el valor medio teorema, en parte, por la convergencia uniforme de la asunción, donde elegimos $N$ lo suficientemente pequeño tal que $\|d_2 L(x, \cdot)\| < 1/4$.

A partir de este teorema, se obtiene de Peano teorema de existencia como en la prueba.

Tenga en cuenta también que la singularidad no seguir, ya que el IFT sólo le da singularidad a nivel local en torno a la función constante.