Si $\mathfrak p$ es un ideal primo de un anillo conmutativo $R$, ¿entonces $R_\mathfrak p/\mathfrak pR_\mathfrak p$ es el campo de fracciones de $R/\mathfrak p$?

Question

Sea $\mathfrak p$ un ideal primo de un anillo conmutativo $R$ con unidad, ¿cómo se puede mostrar que el campo $R_\mathfrak p/\mathfrak pR_\mathfrak p$ es isomorfo al cuerpo de fracciones del dominio integral $R/\mathfrak p$?

Puedo mostrar que $R_\mathfrak p/\mathfrak pR_\mathfrak p \cong (R/\mathfrak p)_\mathfrak p$ como módulos de $R_\mathfrak p$... pero no estoy seguro si esto implica el resultado que estoy buscando o no

Answer 1

Hay un mapa obvio $f\colon R_P\to \text{Frac}(R/P)$, dado por $a/b\mapsto (a+P)/(b+P)$. Necesitas verificar:

• Si $a/b\in R_P$, entonces $f(a/b)\in \text{Frac}(R/P)$, es decir, $b+P\neq 0$ en $R/P$.
• Si $a/b = c/d$ en $R_P$, entonces $f(a/b) = f(c/d).
• $f$ es un homomorfismo.

Para demostrar que $f$ induce un isomorfismo $R_P/PR_P\cong \text{Frac}(R/P)$, solo necesitas demostrar que el núcleo de $f$ es $PR_P$. Bueno, supongamos que $a/b$ está en el núcleo. Entonces $f(a/b) = (a+P)/(b+P)$ es igual a $0$ en $\text{Frac}(R/P)$, entonces $a+P$ es igual a $0$ en $R/P$. Así que $a\in P$, y $a/b = a(1/b) \in PR_P$. Por el contrario, si $a/b\in PR_P$, entonces es equivalente a $p/b'$ para algún $p\in P$ y $b'\notin P$. Y $f(p/b') = (p+P)/(b'+P) = 0$, así que $a/b$ está en el núcleo (ya has verificado que $f$ está bien definida, así que es suficiente mirar solo un representante de su clase de equivalencia).

Hay una manera más categorial de hacer este ejercicio, donde verificas que $R_P/PR_P$ y $\text{Frac}(R/P)$ ambos satisfacen la propiedad universal de que un homomorfismo de anillos de este anillo a $S$ está determinado de manera única por un homomorfismo de anillos $R\to S$ que mapea cada elemento de $P$ a $0$ y cada elemento de $R\backslash P$ a una unidad, y por lo tanto deben ser isomorfos (por el Lema de Yoneda). Pero parece que podrías beneficiarte más en esta etapa trabajando a través de los detalles de la prueba más "concreta".

Answer 2

Dado que la localización preserva secuencias exactas, tenemos que la secuencia exacta
$$ 0 \to \mathfrak p \to R \to R/\mathfrak p \to 0$$ se convierte en
$$0 \to \mathfrak p R_{\mathfrak p} \to R_{\mathfrak p} \to (R/\mathfrak p)_{\mathfrak p} \to 0$$ Por lo tanto $(R/\mathfrak p)_{\mathfrak p}=R_{\mathfrak p}/\mathfrak pR_\mathfrak p$. A partir de esto, podemos concluir que es el cuerpo de fracciones, ya que $R/\mathfrak p$ es un dominio y localizar por $\mathfrak p$ significa tomar el inverso de todos los elementos no nulos (no hay divisores de cero en un dominio integral).