$\omega^2+\omega+1$divide un polinomio

Question

La pregunta es

Mostrar que $f(n)=n^5+n^4+1$ no es primo para $n>4$.

La solución está dada como

Deje $\omega$ ser la tercera raíz de la unidad. A continuación,$\omega^2+\omega+1=0$. Desde $\omega^5+\omega^4+1=\omega^2+\omega+1$, podemos ver que $\omega^2+\omega+1$ *factor del polinomio. Así que *$n^2+n+1|n^5+n^4+1$.

Que el polinomio nos referimos en la tipografía en negrita arriba? Y cómo es $n^2+n+1|n^5+n^4+1$ cierto por $\omega^5+\omega^4+1=\omega^2+\omega+1$?

Answer 1

Este es más bien mala redacción (en la solución). Lo que está diciendo es que ese $\omega,$ que es una raíz del polinomio irreducible $x^2+x+1$ también es una raíz de $x^5+x^4+1,$, por lo que el mcd de los dos polinomios no es $1,$ y desde el primer polinomio es irreducible, se debe dividir el segundo. Ahora, dicho eso, usted puede verificar esto sin ningún fanciness por la división larga.

Answer 2

Como las 3 de la raíz de la identidad $\omega=\mathrm{e}^{2\pi i/3}$ satisface $x^5+x^4+1=0$, entonces también lo hace su conjugado $\bar\omega=\mathrm{e}^{-2\pi i/3}$, y, por tanto, $(x-\omega)(x-\bar\omega)=x^2+x+1$ divide $x^5+x^4+1$.

Tenga en cuenta que $$ x^5+x^4+1=(x^2+x+1)(x^3-x+1). $$

Answer 3

Ver que $\omega$ es una raíz de ambos $f(x)=x^5+x^4+1$$g(x)=x^2+x+1$. Ahora $g(x)$ tiene todos los coeficientes reales, y es un polinomio de grado 2. Por lo tanto tiene dos raíces y la segunda raíz debe ser el conjugado complejo de $\omega$$\omega^2$. Por lo tanto $g(x)=(x-\omega)(x-\omega^2)$. También tenga en cuenta que $f(\omega^2)=0$. Por lo tanto $f(x)=(x-\omega)(x-\omega^2)h(x)=g(x)h(x)$ para algunos de los verdaderos polinomio $h(x)$. Ahora usted puede mostrar fácilmente por la equiparación de los coeficientes de que $h(x)$ tiene coeficientes enteros. Ahora pon $x=n$ en ambos lados. Entonces a partir de la $h(n)$ resulta ser un número entero $n^2+n+1|n^5+n^4+1$.

Answer 4

Vamos $$g(n)=n^2+n+1$$ and $$h(n)=n^3-n+1$$.

Claramente $$f(n)=g(n) \cdot h(n)$$

Ahora$h(1)=1$$h'(n) = 3 n^2-1 > 0$$n\ge 1$. Así, por $n>1$ $g(n)$ $h(n)$ son mayores de $1$. Así

$f(n)$ **está compuesto por todos los $n>1$