$\sum_{m=1}^{\infty}{\frac{e^{-a m^2}}{m^2}}$ como parte Integrante del

Question

Tengo una serie que quiero encontrar una integral que puede reemplazar integral con esta serie en mi cálculo.

$$\sum_{m=1}^{\infty}{\frac{e^{-a m^2}}{m^2}}$$

que la integral es igual con mi serie?

gracias

Answer 1

Considere la posibilidad de : $$f(a):=\sum_{m=1}^{\infty}{\frac{e^{-a\,m^2}}{m^2}}$$ entonces

$$f'(a)=-\sum_{m=1}^{\infty}e^{-a\,m^2}=\frac 12\left(1-\theta_3\left(0,e^{-a}\right)\right)$$

con $\theta_3$ un Jacobi theta función.

Así que tienes la integral de una función theta...