Producto escrito $\prod_{i=1}^m (p_i^{n_i}-1)$ como una suma

Question

Supongamos que tengo un entero $N$ con el primer descomposición $N=\prod_{i=1}^m p_i^{n_i}$. ¿Cómo puedo escribir

$$\prod_{i=1}^m (p_i^{n_i}-1)$$

como una suma que sólo depende de $N$, y no es el primer descomposición?

Claramente tenemos

$$\prod_{i=1}^m (p_i^{n_i}-1) = N - \sum_{i=1}^{m} \frac{N}{p_i^{n_i}} + \sum_{\substack{i_1,i_2=1 \\ i_1\leq i_2}}^n \frac{N}{p_{i_1}^{n_{i_1}} p_{i_2}^{n_{i_2}}} \dots$$

Así que me parece que podría escribir esto como algo como

$$\prod_{i=1}^m (p_i^{n_i}-1) = \sum_{d|N}\mu(d)\frac{N}{f_{N}(d)}$$

donde $f_N(d)$ es una función que se ve algo como

$$f_N(d) = \prod_{p_i|d_i} p_i^{n_i}$$

Mi pregunta es, ¿hay ya una función como $f_N(d)$ en la literatura que va a satisfacer esta? Si no, hay alguna otra manera de escribir $\prod_{i=1}^m (p_i^{n_i}-1)$ como una suma que sólo depende de $N$?

Answer 1

Puesto que la fórmula $$\prod_{i=1}^m (p_i^{n_i}-1) = n \prod_{i=1}^m \left(1-\frac1{p_i^{n_i}}\right)$$ asemeja a la totient función, pensé que este tipo de generalización de totient función podría haber sido estudiado en algún lugar. El libro Sandor J., Crstici B. Manual de teoría de los números, vol.2, tiene un capítulo sobre las generalizaciones de totient función, así que traté de mirar allí. Voy a copiar la parte pertinente de este libro a continuación.

He leído que el producto de su pregunta es a veces llamado unitario totient de la función y se denota $\varphi^*(n)$. También hay otros aritmética de las funciones relacionadas con unitaria divisores.

También un papel por Eckford Cohen fue mencionado como una referencia. (Referencia exacta es la siguiente.) En este documento podemos encontrar los siguientes:

Corolario 2.4.1.$$\varphi^*(n)=\sum_{\substack{d\delta=n\\(d,\delta)=1}} \mu^*(d)\delta.$$ Donde $\mu^*(n)=(-1)^{\omega(n)}$ es unitario de la función de Möbius y $\omega(n)$ denota el número de los distintos factores primos de a $n$.

Esta suma de divisores unitarios puede escribirse como $$\sum_{\substack{d\mid n\\(d,\frac nd)=1}} \mu^*(d) \frac nd$$ que parece ser exactamente la suma de su post. (Aviso unitario divisores son precisamente los divisores de la forma $p_i^{n_i}$.)

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Esta es la parte de la Sección 3.7.6 de Sandor-Crstici relevantes para la cuestión. (Usted puede encontrar mucho más datos sobre unitario versiones de varios aritmética de funciones, así como las referencias hechas en este libro).

El unitario analógica de $\varphi(n)$ fue introducido por E. Cohen [83] de la siguiente manera. Deje $(a,b)^*$ denotan el mayor divisor de a, que es un unitario divisor de $b$ (un divisor $r$ $b$ es llamado unitario, si $\left(r,\frac br\right)=1$.) Si $(a,b)^*=1$, $a$ dijo ser semi-primer a $b$ Deje $\varphi^*(n)$ el número de enteros positivos $r\le n$, semi-prime a $n$. De hecho, $$\varphi^*(n)=\sum_{d\mid n} d\mu^*(n/d) = \prod_{p^\alpha\mathrel{\|} n}(p^\alpha-1),$$ donde $\mu^*(n)=(-1)^{\omega(n)}$ es unitario de la función de Möbius. Para unitario divisores ver también 1.9 del Capítulo 1, 2.2.2 del Capítulo 2, y 3.6.1 del Capítulo 3. Para el correspondiente nociones de bi-unitario, divisores y de convolución, consulte 1.9 del Capítulo 1, y 2.2.3 de Capítulo 2.

[83] Eckford Cohen: Aritmética funciones asociadas con la central unitaria de divisores de un número entero, de Matemáticas. Z. 74(1960), 66-80; doi: 10.1007/BF01180473, eudml, MR 0112861, Zbl 0094.02601.