Si has leído en cualquier espacio-tiempo de la topología, usted sabe que el espacio-tiempo. Es increíble rotación de lightcone identificados después de la mitad de un giro. Y fuera de De Sitter espacio con algunas identificaciones, es el único no-tiempo-orientable espacio-tiempo que se ha descrito nunca.
Por ejemplo, aquí está en Wald :
Y aquí es en Sánchez :
Sin embargo, nunca explícitamente descrito. Obviamente de topología $\Bbb R \times S$, pero más allá de eso es una incógnita lo que la métrica es en realidad.
Sánchez, de hecho casi le da a la métrica, dándonos escalar productos :
$$X_1 = \cos(\pi x) \partial_x + \sin(\pi x) \partial t$$ $$X_2 = -\sin(\pi x) \partial_x + \cos(\pi x) \partial t$$ $$g(X_1, X_2) = -1$$ $$g(X_1, X_1) = g(X_2, X_2) = 0$$
Lo que significa que
$$-\sin(\pi x)\cos(\pi x)g_{xx} + \sin(\pi x)\cos(\pi x) g_{tt}+ (\cos^2(\pi x) - \sin^2(\pi x)) g_{tx} = -1$$
$$\cos^2(\pi x) g_{xx} + \sin^2(\pi x) g_{tt} + 2 \cos(\pi x)\sin(\pi x) g_{tx} = 0$$
$$\sin^2(\pi x) g_{xx} + \cos^2(\pi x) g_{tt} - 2 \cos(\pi x)\sin(\pi x) g_{tx} = 0$$
Sumando los dos últimos, esto nos da
$$g_{xx} = -g_{tt}$$
Así
$$2 \sin(\pi x)\cos(\pi x) g_{tt}+ (\cos^2(\pi x) - \sin^2(\pi x)) g_{tx} = -1$$
$$(-\cos^2(\pi x) +\sin^2(\pi x)) g_{tt} + 2 \cos(\pi x)\sin(\pi x) g_{tx} = 0$$
$$(-\sin^2(\pi x) + \cos^2(\pi x)) g_{tt} - 2 \cos(\pi x)\sin(\pi x) g_{tx} = 0$$
Como el lightcone, y por lo tanto la dirección de el tiempo y el espacio, girando, mi instinto me dice que me ponga a $g_{tt} = \cos(\pi x)$. El determinante de la métrica luego ser $\cos^2(\pi x) - g_{tx}^2$. Para mantener la firma, esto significa $\cos^2(\pi x) < g_{tx}^2$. Si uso que ansatz,
$$g_{tx} = -2 \frac{\sin(\pi x)\cos(\pi x)^2 + 1}{(\cos^2(\pi x) - \sin^2(\pi x)) }$$
$$g_{tx} = \frac{( \cos^2(\pi x)-\sin^2(\pi x) ) }{2 \sin(\pi x)}$$
Un rápido punteo me dice que esas no son las mismas funciones. Cualquier idea de lo que el real métrica sería?
