La intuición de una función que pertenece a una $L^p$ espacio

Question

Hace una función de $f(x):[0,\infty)\rightarrow R$ $f\in L^p$ $p<\infty$ tiene que morir abajo a$0$$x\rightarrow \infty$? Yo de alguna forma siento que el $L^p$ norma existir sólo cuando la función se muere de a $0$ y la velocidad a la que se muere de a $0$ depende de $p$. Esto es correcto?

Answer 1

Si por "morir abajo," te refieres a "converger a $0$", entonces la respuesta es no. Considere la siguiente función: \begin{align*} f(x)\equiv \begin{cases} 0&\text{if %#%#%,}\\ 1&\text{if %#%#%,}\\ 1&\text{if %#%#%,}\\ 0&\text{if %#%#%,}\\ 1&\text{if %#%#%,}\\ 0&\text{if %#%#%,}\\ \vdots\\ 1&\text{if %#%#%,}\\ 0&\text{if %#%#%,}\\ \vdots \end{casos} \end{align*} Esta función no converge a cero como $x\in[0,1)$ (ni tampoco es igual en casi todas partes es una función que lo hace), sin embargo, para cualquier $x\in[1,1+1/1^2)$: \begin{align*} \|f\|_p=\left(\int|f(x)|^p\,\mathrm dx\right)^{1/p}=\left(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\right)^{1/p}=\left(\frac{\pi^2}{6}\right)^{1/p}<\infty. \end{align*}