Deje $m,n$ ser distinto entero positivo que no exceda de 2013 y $d$ ser su mcd. Supongamos $d^2|3(m-n)$. Encontrar el mayor valor posible de $d(m+n)$.
Sólo sé $m-n$ debe ser un cuadrado perfecto, pero entonces yo no tengo mucha idea, por favor ayuda.
Dejo $m = da$$n = db$. Desde $d = \gcd(m,n)$, $a$ y $b$ son relativamente primos. Sin pérdida de generalidad, $m>n$, por lo que el $a>b$.
Primero supongamos que $3\! \not | \ d$. A continuación,$d^2 | (m-n) = d(a-b)$, o, equivalentemente,$d | (a-b)$. Queremos $d(m+n) = d^2(a+b)$. Fijo $a$, no podemos hacer peor que aumentar el $b$ todo el camino a $a-d$. Por lo tanto lo que queremos es maximizar $d^2(2a-d) = 2ad^2 - d^3$ bajo la condición de que $a \geq d+1$$ad \leq 2013$. Fijo $d$, podríamos aumentar el $a$ hasta $\lfloor \frac{2013}d \rfloor$.
Para obtener la intuición, vamos a estudiar el sistema correspondiente sobre $\mathbb R$. A continuación, podemos muy bien suponer $ad = 2013$. Deje $\epsilon \approx 0$, multiplicar $a$$1+\epsilon$, e $d$ por el correspondiente factor de $1-\epsilon$ (e ignorar todos los factores de orden $\epsilon^2$). A continuación, $d^2(2a-d)$ cambios $-d^2(2a-d)2\epsilon + d^2(2a\epsilon + d\epsilon) = \epsilon d^2(3d - 2a)$, hasta el fin de $\epsilon^2$. El punto fijo es, por tanto, al $a = \frac32 d$. Si $a < \frac32 d$, aumentando $a$ (es decir, establecimiento $\epsilon>0$) aumenta el total. Si $a > \frac32 d$, disminuyendo $a$ ( $\epsilon<0$ ) aumenta el total. Por lo tanto el punto fijo es el único máximo. Desde $ad = 2013$, $d = \sqrt{\frac23\times 2013} \approx 36.63$, para un total de $d^2(2a-d) = 2d^3 = 2\times \left(\frac23\times 2013\right)^{3/2} \approx 98323$.
En la segunda, supongamos $3|d$, decir $d = 3e$. A continuación,$3e^2 | (m-n) = 3e(a-b)$, lo $e | (a-b)$. Lo que queremos es maximizar $d^2(a+b) = 9e^2(a+b)$, sujeto a $e|(a-b)$, $1 \leq b < a$, y $ea \leq \frac{2013}3 = 671$. De nuevo podríamos hacer las $b$ tan grande como, posiblemente, para un determinado fija $a$, decir $b = a-e$, e $a$ tan grande como sea posible para fijo $e$, decir $a = \lfloor \frac{671}e \rfloor$.
De nuevo de conmutación para el caso real, tenemos $ae = 671$ y lo que queremos es maximizar $9e^2(2a - e)$. Ya hemos decidido que esto sucede cuando $e = \frac23 a$, en cuyo caso $e = \sqrt{\frac23 \times 671} \approx 21.1$. El máximo real aquí es $18\times \sqrt{\frac23 \times 671}^3 \approx 170301.8$.
Cómo cerca de esto se puede obtener con números enteros? Redondeo $e$ $21$da $a = \lfloor \frac{671}{21} \rfloor = 31$, por lo tanto $9e^2(2a - e) = 162729$. En particular, este sin duda lo hace mucho mejor que el $3\!\!\not|\ d$ de los casos. Por otra parte, si $e\leq 17$ o $e \geq 25$,$9e^2\left(2\frac{671}e-e\right) < 162729$. Así que la única gama que debemos pensar es $e=18,19,20,21,22,23,24$. ¿Por qué necesitamos que todos los de esta gama? La función de $e \mapsto 9e^2\left(2\frac{671}e-e\right)$ es bastante plana aquí (desde $e\approx 21.1$ es un punto fijo), por lo que todos los valores reales están cerca; por lo que el ganador va a depender de la $\lfloor \frac{671}e\rfloor$ aproxima $\frac{671}e$.
Por ejemplo, el redondeo $e$ $22$da $a=30$$9e^2(2a - e) =165528$. Esto descarta $e=24$$e=18$. Tratando de $e=23$ da $a=29$$9e^2(2a - e) = 166635$. Finalmente, $e=20$ da $a=33$ e e $9e^2(2a - e) = 165600$. El ganador es$166635$,$m=3ea = 2001$$n=3e(a-e) = 414$.
No estoy seguro de cómo hacer la última parte sin una calculadora - me refiero a que, en principio sé cómo calcular largo de las raíces cuadradas y, por supuesto, para hacer las multiplicaciones, pero yo no quiero.
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