¿Los subgrupos normales son transitivos?

Question

Supongamos que $G$ es un grupo y $K \lhd H \lhd G$ son subgrupos normales de $G$ . Es $K$ un subgrupo normal de $G$ es decir. $K \lhd G$ ? Si no, ¿qué condiciones adicionales en $G$ o $H$ que esto sea posible?

Aplicando las definiciones, sabemos $\{ghg^{-1}|h \in H\}=H$ y $\{hkh^{-1}|k \in K\}=K$ y quiero $\{gkg^{-1}|k \in K\}=K$ . Claramente, el mejor camino para un contraejemplo es si $gkg^{-1} \not\in K$ para algunos $k \in K$ y $g \in G-H$ .

Si no existe tal elemento, $\{gkg^{-1}|k \in K\} \subseteq K$ implica $\{gkg^{-1}|k \in K\}=K$ porque si $k' \in K$ , $gk'g^{-1}=k \in K \Rightarrow k'=g^{-1}kg \in\ {gkg^{-1}|k \in K\}$ .

Answer 1

Utilizando algunas sugerencias de los otros comentaristas:

El grupo alternativo, $A_4$ tiene el conjunto $H=\{I,(12)(34),(13)(24),(14)(23)\}\cong V_4$ como subgrupo. Si $f\in S_4\supseteq A_4$ es una permutación, entonces $f^{-1}[(12)(34)]f$ tiene el efecto de intercambiar $f(1)$ con $f(2)$ y $f(3)$ con $f(4)$ . Uno de ellos es $1$ y dependiendo de con qué se empareje, el elemento conjugado puede ser cualquiera de $H-\{I\}$ ya que los otros dos también se intercambian. Así, $H\lhd S_4$ es normal, por lo que $H\lhd A_4$ también. De la misma manera, $H$ tiene tres subgrupos no triviales, y tomando $K=\{I,(12)(34)\}\cong C_2$ Esto es normal porque $V_4$ es abeliano. Pero $K\not\lhd A_4$ , ya que $$[(123)][(12)(34)][(132)]=(13)(24)\in H-K.$$

Además, este es un contraejemplo mínimo, ya que $|A_4|=12=2\cdot 2\cdot 3$ es el siguiente número más pequeño que es factor de tres enteros, lo que se requiere para $K\lhd H\lhd G$ pero $\{I\}\subset K\subset H\subset G$ para que $[G\,:\,H]>1$ , $[H\,:\,K]>1$ , $|K|>1$ y $$|G|=[G\,:\,H]\cdot[H\,:\,K]\cdot|K|.$$ El menor número entero que satisface este requisito es 8, pero los únicos grupos no abelianos con $|G|=8$ son el grupo diédrico $D_4$ y el grupo de cuaterniones $Q_8$ y ninguno de ellos tiene contraejemplos. (Nótese que si $G$ es abeliano, entonces todos los subgrupos son normales). Por tanto, $A_4$ es un contraejemplo mínimo. (Edición: Oops, $D_4$ tiene un contraejemplo, como se menciona en los comentarios: $\langle s\rangle\lhd\langle r^2,s\rangle\lhd \langle r,s\rangle=D_4$ pero $\langle s\rangle\not\lhd D_4$ .)

Sin embargo, si $H\lhd G$ y $K$ es un subgrupo característico de $H$ entonces $K$ es normal en $G$ . Esto se debe a que la acción del grupo $f$ define un automorfismo en $G$ , $\varphi(g)=f^{-1}gf$ y porque $H$ es normal, $\varphi(H)=H$ para que $\varphi|_H$ es un automorfismo en $H$ . Así, $\varphi(K)=K$ desde $K$ es característico en $H$ y así $\{f^{-1}kf\mid k\in K\}=K\Rightarrow K\lhd G$ .

Answer 2

Mira $S_4$ y sus siguientes subgrupos $A = \langle (12)(34) \rangle$ y $B=\{(12)(34),(13)(42),(23)(41),e \}$ . Intenta demostrar que $A$ es normal en $B$ y $B$ es normal en $S_4$ pero $A$ no es normal en $S_4$ .

Answer 3

Necesitamos un grupo no abeliano, ya que todos los subgrupos de grupos abelianos son normales. Un pequeño candidato es $D_8$ , las simetrías de un cuadrado, aquí en un poco más de detalle sobre cómo podríamos ir a buscar ejemplos:

Considere todos los subgrupos de $D_8$ . Es útil visualizar los subgrupos como un entramado:

(Foto de Dummit y Foote que encontré en la web)

Ahora tratamos de elegir un $H$ . Para todos los subgrupos de la tercera fila desde arriba, su único subgrupo propio es el subgrupo trivial, que es trivialmente normal a $G$ por lo que no tiene sentido utilizar ninguno de los subgrupos de la tercera fila para $H$ .

Nuestras únicas opciones para $H$ ahora son la segunda fila: $\langle s, r^2 \rangle$ , $\langle r \rangle$ y $\langle rs, r^2 \rangle$ . Observamos que si $H = \langle r \rangle$ los subgrupos propios $\langle r^2 \rangle$ y $1$ son normales para $D_8$ por lo que ese caso queda excluido. Nuestros candidatos son $\langle s, r^2 \rangle$ y $\langle rs, r^2 \rangle$ .

Tome $H = \langle s, r^2 \rangle$ y $K = \langle s \rangle$ . Es fácil comprobar que $\langle s \rangle$ no es normal que $D_8$ . Todo lo que queda es mostrar $K \lhd H$ y $H \lhd G$ .

Esto no es difícil si recordamos que cualquier elemento en $D_8$ puede escribirse como $r^i s^j$ con $0 \le i \le 3$ y $j = 0, 1$ . También tenemos la identidad $rs = sr^{-1}$ que puede repetirse como $r^k s = s r^{-k}$ . Así que para $g \in D_8$ queremos probar o refutar $r^i s^j n s^j r^{-i} \in N$ para mostrar $N \lhd G$ .