Cómo determinar la matriz de adjuntos representación de álgebra de la Mentira?

Question

Mis preguntas se refieren a dos páginas:

http://mathworld.wolfram.com/AdjointRepresentation.html

y

http://mathworld.wolfram.com/KillingForm.html

En la primera página, sabemos que la base de cuatro matriz $\{e_1,e_2,e_3,e_4\}$, y mi tratar de encontrar sus adjuntos representaciones (tomando ejemplo de $e_2$): $$\hbox{ad}_{e_2}e_1=-e_2,\\\hbox{ad}_{e_2}e_2=0,\\\hbox{ad}_{e_2}e_3=e_1-e_4,\\\hbox{ad}_{e_2}e_4=-e_3.$$ A continuación, en base a $\{e_1,e_2,e_3,e_4\}$, podemos escribir la matriz de adjuntos representación de $e_2$ como: $$\hbox{ad}(e_2)=\left[\begin{array}{cccc}0 & 0 & 1 & 0\\-1 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & -1 & 0\end{array}\right]$$ como el resultado en la página. Ahora mis preguntas:

Q1. Si mi intento es correcto, ahora vamos a leer la segunda página ("la matanza de forma") y vamos a hacer los mismos cálculos con base a la $[X,Y,H]$. Puedo encontrar la matriz de $\hbox{ad}(Y)$ $$\hbox{ad}(Y)=\left[\begin{array}{ccc}0 & 0 & 2\\0 &0 & 0\\-2 & 0 & 0\end{array}\right]$ $ , pero no el resultado en la página (sólo su transposición). Si esta página es de la derecha, mi precedente debe ser el resultado de $$\hbox{ad}(e_2)=\left[\begin{array}{cccc}0 & -1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & -1\\0 & 1 & 0 & 0\end{array}\right].$$ Lo que debería ser?

Q2. Tenemos la fomula de álgebra de la Mentira: $\hbox{ad}_XY=[X,Y]$. ¿Cuáles son las relaciones entre el$\hbox{ad}(X)$$\hbox{ad}_X(Y)$?

Q3. En la página de "la matanza de forma", ¿cómo se consigue $B=\left[\begin{array}{ccc}8 & 0 & 0\\0 & -8 & 0\\0 & 0 & 8\end{array}\right]$?

Gracias!

Answer 1

$\newcommand{\ad}{\operatorname{ad}}$ Respuesta a Q1:

No debes preocuparte demasiado con esto, es simplemente un contador de notación. De todos modos, creo que hay un error en su $\ad(Y)$ en el sentido de que, si quieren ser coherentes con la primera página, que debe tener su $\ad(Y)$ y no la transposición de la misma.

Respuesta a Q2:

El relatiion es simplemente que $\ad_X(Y)$ es la segunda columna de $\ad(X)$. En su ejemplo, $\ad_X(Y)$ $2\times 2$ matriz $ XY-XY = \begin{pmatrix} 2 & \phantom{-}0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} $, which corresponds to the vector $\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 2\end{pmatrix}$ in the basis $X,Y,Z$. This means that $\ad_X(Y)$ se expresa como combinación lineal $$ 0\cdot X + 0\cdot Y + 2\cdot Z = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 2\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}X \\ Y \\ Z\end{pmatrix} $$

Respuesta a T3:

Que sólo el uso de la definición de la fórmula de $B(X,Y)=Tr(\ad(X)\cdot\ad(Y))$. Por la base de la teoría de formas bilineales sabemos que $(i,j)$-entrada de la matriz resultante está dada por $$ Tr(\ad(e_i)\cdot\ad(e_j)) $$ donde en nuestro caso $e_1=X$, $e_2=Y$ y $e_3=H$. Como un ejemplo, la entrada de $(2,2)$ es calculado por $$ Tr(\ad(Y)\cdot\ad(Y)) = Tr\; \begin{pmatrix} -4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -4 \\ \end{pmatrix} = -8 $$