Probar\Refutar: para cada norma en $\mathbb{R}^n: \left \| x \right \|\leq \max (\left \| x+y \right \|,\left \| x-y \right \|)$

Question

Necesito probar o refutar que para cada norma en $\mathbb{R}^n$ : $ \left \| x \right \|\leq \max (\left \| x+y \right \|,\left \| x-y \right \|)$ . Hace bastante tiempo que estudié Álgebra Lineal 1. Intenté buscar vectores $x$ y $y$ tales que refuten la afirmación, pero no encontré ninguna, así que intenté demostrar la cuestión mostrando la suma explícita de cada norma, y seguir a partir de ahí, pero tampoco lo conseguí.

(perdón si la pregunta es demasiado fácil o tonta)

¿Alguna ayuda?

¡Muchas gracias!

Answer 1

$2x = (x + y) + (x - y)$ . Así que la desigualdad del triángulo da $2\|x\| \le \|x+y\| + \|x-y\|$ .

Answer 2

Una forma geométrica de pensar en esto es observar que las bolas en los espacios normados son convexas, y $x$ se encuentra en el segmento de línea entre $x+y$ y $x-y$ . Si $\|x\|$ fueron mayores que $\|x-y\|$ y $\|x+y\|$ entonces $\{z:\|z\|<\|x\|\}$ sería una bola abierta que contiene $x-y$ y $x+y$ pero no su punto medio $x$ y, por lo tanto, no sería convexa.

Answer 3

La razón por la que no has encontrado contraejemplos es que la afirmación es cierta. Supongamos que $\|x\|>\|x+y\|$ y $\|x\|>\|x-y\|$ para algunos $x,y\in \mathbb{R}^n$ . Puede proyectarlas hasta $\mathbb{R}$ y $\mathbb{R}^{n-1}$ respectivamente para obtener un contraejemplo en al menos uno de ellos, por lo que finalmente se obtiene un contraejemplo en $\mathbb{R}$ . Pero en este caso $x$ tiene el mismo signo o un signo diferente al de $y$ y en cualquier caso la desigualdad se mantiene, contradiciendo la existencia de un contraejemplo.

EDIT: Como ha señalado Jonas Meyer, esto sólo funciona para espacios de producto interno en los que la norma es inducida por el producto interno. Lo he dejado para que los que lo hayan leído sean conscientes de este fallo.