Deje $Y\sim U([0,1])$ $X|Y=y\sim U([-y,y])$
Sabemos que por definición: $f(x,y)=f_{Y}(y)\cdot f_{X|Y}(x|y)$.
Desde $Y\sim U([0,1])$ tenemos que $f_{Y}(y)=1$ al $y\in[0,1]$
y es cero en caso contrario. por lo tanto $f(x,y)=0$ al $y\not\in[0,1]$ y
es $f_{X|Y}(x|y)$ lo contrario.
También nos dan ese $X|Y=y\sim U([-y,y])$ por lo tanto $f_{X|Y}(x|y)=\frac{1}{y-(-y)}=\frac{1}{2y}$
al$x\in[-y,y]$, y cero en caso contrario.
Llegamos a la conclusión de
$$
f(x,y)=\begin{cases}
\frac{1}{2y} & y\in[0,1],x\in[-y,y]\\
0 & \text{otherwise}
\end{casos}
$$
Tenga en cuenta que$x\in[-y,y]$$-y\leq x\leq y$, y por lo tanto $y\geq x$,
también es claro que la $y\leq1$
También, $x\geq-y$ $y\geq-x$ y ya que también se $y\geq x$ tenemos
$y\geq|x|$
Ahora que tenemos el conjunto de densidad podemos conseguir $f_{X}(x)$ integrando:
$$
f_{X}(x)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)\, dy=\int_{|x|}^{1}\frac{1}{2y}\, dy=\frac{1}{2}(\log(y)|_{|x|}^{1})=\frac{1}{2}(\log(1)-\log(|x|))=-\frac{1}{2}\log|x|
$$
Ahora, $EX=EE[X|Y]$. $X|Y\sim U([-y,y])$ por lo tanto $E[X|Y|]=\frac{y+(-y)}{2}=0$.
Por lo tanto $EX=E[0]=0$.
Ahora podemos calcular el $Var(X)$:
$$
Var(X)=EX^{2}-(EX)^{2}=EX^{2}
$$
Desde $x\in[-y,y]$ $y\in[0,1]$ tenemos que $x\in[-1,1]$.
$$
EX^{2}=\int_{-\infty}^{\infty}x^{2}f_{X}(x)\, dx
$$
$$
=\int_{-1}^{1}x^{2}\cdot-\frac{1}{2}\log(|x|)\, dx
$$
$$
=-\frac{1}{2}\int_{-1}^{1}x^{2}\log(|x|)\, dx
$$
Usando integración por partes con $u=\log(|x|),v'=x^{2}$tenemos
$$
\int x^{2}\log(|x|)\, dx=\log(|x|)\cdot\frac{x^{3}}{3}-\int\frac{1}{x}\cdot\frac{x^{3}}{3}=\log(|x|)\cdot\frac{x^{3}}{3}-\frac{1}{3}\cdot\frac{x^{3}}{3}=\frac{x^{3}}{3}(\log(|x|)-\frac{1}{3})
$$
Por lo tanto
$$
-\frac{1}{2}\int_{-1}^{1}x^{2}\log(|x|)\, dx
$$
$$
=-\frac{1}{2}(\frac{x^{3}}{3}(\log(|x|)-\frac{1}{3})|_{-1}^{1})
$$
$$
=-\frac{1}{2}(\frac{1^{3}}{3}(\log(|1|)-\frac{1}{3})-\frac{(-1)^{3}}{3}(\log(|-1|)-\frac{1}{3}))
$$
$$
=-\frac{1}{2}(-\frac{1}{3\cdot3}-\frac{1}{3\cdot3})=\frac{1}{9}
$$
