Finitely, the translation from English to Spanish is as follows: Acotamiento de la solución de una ecuación diferencial de segundo orden

Question

Supongamos que $f$ es una función convexa con la propiedad de que los conjuntos de nivel de $f$ son compactos. Sé que cualquier solución de la ecuación diferencial $$\dot{x}=-\nabla f(x)$$ está acotada porque $(d/dt) f(x) = - ||\nabla f(x)||^2$ de modo que $x_t$ siempre permanece dentro del conjunto de nivel $\{ u ~| f(u) \leq f(x_0)\}$.

Mi pregunta es: supongamos que en su lugar tengo $$m \ddot{x} + c \dot{x} = - \nabla f(x),$$ donde $m > 0$ y $c \geq 0$. Parece natural suponer que esto también permanecerá acotado. ¿Es eso cierto?

Answer 1

Define la función Hamiltoniana: $$ H(x, \dot{x}) = \frac{1}{2}\,m\, {|\dot{x}|}^2 \;+\; f(x)\, . $$

Luego: \begin{align} \frac{d}{dt}H(x, \dot{x}) &= m\, \dot{x}\cdot\ddot{x} \;+\; \dot{x}\cdot\nabla f(x)\\[0.05in] &= \dot{x}\cdot\left[m\, \ddot{x} \;+\; \nabla f(x)\right]\\[0.05in] &=\dot{x}\cdot\left[-c\,\dot{x} \;-\; \nabla f(x)\;+\; \nabla f(x)\right]\\[0.05in] &= -c\, {|\dot{x}|}^2 \end{align} Por lo tanto, $x(t)$ está acotado en el mismo sentido que en tu ejemplo original, excepto con $H$ en lugar de $f$.