En la respuesta a la pregunta "Matemáticamente maduro manera de pensar acerca de Mayer–Vietoris" dada por Angelo, afirma que el derecho derivado de functors $R^k(j)$ de la izquierda-exacto incrustación $$j:Sh~X\subseteq PreSh~X$$ para una gavilla $F$ por la presheaf $R^k(j)(F)$ el envío de un conjunto abierto $V\subseteq X$$H^k(U,F)=H^k(U,F|_U)$. El segundo debe ser gavilla cohomology, creo. ¿Cómo puedo ver que el derecho derivado de functors $R^k(j)$ son en realidad gavilla cohomology?
Respuesta
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Esto es, básicamente, un ejercicio de manipulación de la definición de derecho derivado functors a través inyectiva resoluciones.
Escribir $\check{H}{}^*(U, -)$ por el derecho derivado de functors $\Gamma (U, -) : \textbf{AbPsh}(X) \to \textbf{Ab}$, $\mathscr{H}^*(-)$ para el derecho derivado de functors de la inclusión $j_* : \textbf{AbSh}(X) \to \textbf{AbPsh}(X)$, e $H^*(U, -)$ por el derecho derivado de functors de $\Gamma (U, -) : \textbf{AbSh}(X) \to \textbf{Ab}$. Podemos hacer las siguientes observaciones:
El functor $\check{H}{}^0(U, -)$ es exacta.
Si $C^\bullet$ es un inyectiva resolución de $A$$\textbf{Sh}(X)$,$H^* (U, A) \cong H^*(\Gamma(U, C^\bullet))$$\mathscr{H}^* (A) \cong H^* (j_* C^\bullet)$.
Pero $\check{H}{}^0(U, -)$ viajes con cohomology, por lo que $$H^* (U, A) \cong H^*(\Gamma(U, C^\bullet)) \cong \check{H}{}^0(U, H^*(j_* C^\bullet)) \cong \check{H}{}^0(U, \mathscr{H}(A))$$ por lo tanto $\mathscr{H}(A)$ debe ser la presheaf $U \mapsto H^* (U, A)$.
(Si usted se está preguntando acerca de la notación $\check{H}{}^* (U, -)$, esto es debido a que este es un caso especial de Čech cohomology con respecto a la trivial abra la cubierta $\{ U \}$. Más generalmente, uno puede formular Čech cohomology con respecto a una cubierta abierta $\mathfrak{U}$ como el derecho derivado de functors de la functor $\textrm{Match}(\mathfrak{U}, -) : \textbf{AbPsh}(X) \to \textbf{Ab}$ que envía un presheaf $P$ para el conjunto de la coincidencia de las familias de las secciones de $P$$\mathfrak{U}$.)
