Producto infinito con relación de recurrencia no homogénea.

Question

Deje que$a_1=1$ y$a_n=n(a_{n-1}+1)$ defina$$P_n=\prod_{i=1}^n(1+\frac1{a_i})$$ Find $ P_n$ as n approaches $ \ infty $

No estoy seguro de por dónde empezar tbh. No sé cómo resolver la relación de recurrencia debido a '$n$'

Cualquier ayuda es apreciada!

Answer 1

Sugerencia:$\displaystyle\; 1+\frac{1}{a_k}=\frac{1+a_k}{a_k}=\frac{a_{k+1}}{(k+1) a_k}\,$, luego el producto realiza un telescopio para:

$$ \ require {cancel} \ prod_ {k = 1} ^ n \ left (1+ \ frac {1} {a_k} \ right) = \ frac {\ cancel {a_2}} {2 a_1} \ cdot \ frac {\ bcancel {a_3}} {3 \ cancel {a_2}} \ cdot \ ldots \ \ frac {a_ {n +1}} {(n +1) \ bcancel {a_n}} = \ frac {a_ {n +1}} {(n +1)!} $$

Además, la recursión original se puede escribir como$\,\displaystyle \frac{a_n}{n!} = \frac{a_{n-1}}{(n-1)!}+\frac{1}{(n-1)!}=\ldots\,$.