¿Cómo puedo demostrar que esta función es continua en $0$ ?

Question

El ejemplo clásico de una función con un solo punto de continuidad es $$ f(x) = \begin{cases} x & \text{if } x \in \mathbf{Q}, \\ 0 & \text{otherwise}. \end{cases} $$

Sólo quiero probar la continuidad en $0$ utilizando la definición en términos de conjuntos abiertos. Sea $(a,b)$ sea un conjunto abierto que contenga $0$ . Quiero demostrar que la preimagen de este intervalo es abierta en $\mathbf R$ . Pero como toda preimagen contiene el $0$ la preimagen consiste en todos los números irracionales y los números racionales del intervalo $(a,b)$ pero este conjunto no está abierto. ¿Qué estoy haciendo mal?

Answer 1

$f$ es continua en $x$ si la preimagen de cada vecindad abierta de $f(x)$ contiene un barrio abierto de $x$ . No es necesario que la imagen previa esté abierta.

Para un ejemplo más sencillo, dejemos que $g(x)=1$ si $x\geq 0$ y que $g(x)=0$ cuando $x<0$ . Entonces $g$ es continua en $x=1$ pero la preimagen de $(0,2)$ es $[0,\infty)$ que no está abierto en $\mathbb R$ . No obstante, la preimagen contiene el vecindario abierto $(0,2)$ de $x=1$ .

Traduciendo esto a $\varepsilon$ s y $\delta$ s, recuerda que $f$ es continua en $x$ si para todo $\varepsilon>0$ existe $\delta>0$ tal que $\{y:|x-y|<\delta\}\subseteq f^{-1}(\{y:|f(x)-y|<\varepsilon\})$ . Aquí $\{y:|x-y|<\delta\}$ es la vecindad de $x$ y sólo se requiere que sea contenida en la preimagen del barrio $\{y:|f(x)-y|<\varepsilon\}$ de $f(x)$ .

Answer 2

Pista: ¿Cuál es la definición de continuidad en un punto en términos de conjuntos abiertos? ¿En qué se diferencia de la definición global de continuidad en términos de conjuntos abiertos?

Answer 3

Si una función es continua en todas partes entonces la preimagen de todo conjunto abierto bajo esa función es abierta.

Pero en este problema es no el caso de que la función sea continua en todas partes, por lo que no hay que esperar que la preimagen de todo conjunto abierto sea abierta.