Solicitud de referencia: trazar fórmula integral

Question

Esta pregunta es no trata de la prueba sino de una fuente confiable donde uno puede encontrar la siguiente fórmula para el rastro normalizado $\mbox{tr}$ de un complejo $(n\times n)$-matriz:

$$\mbox{tr}(A) = \int\limits_{|y|=1} \langle Ax, x\rangle\, \mbox{d}m(x)$$

donde $m$ es la medida de Lebesgue (área) normalizada a la esfera euclidiana en $\mathbb{C}^n$. Gracias.

Answer 1

Nota: el siguiente es originalmente debido a Bennett Chow en MathOverflow. Volver a colocar aquí como CW en vista de este comentario.

Deje $S^{n-1}$ ser la unidad de la esfera en algún espacio de la tangente con el producto interior $g$. Deje $\{e_i\}_{i=1}^n$ ser un ortonormales marco y deje $V_i=\langle V,e_i\rangle$. Para $i\neq j$, $\int_{S^{n-1}}V_{i}V_{j}\operatorname{dvol}\left( V\right) =0$ desde el integrando es impar con respecto a la reflexión acerca de la coordenada hyperplane $\left\{ V_{i}=0\right\} $. Taking $i=j$, we get $\int_{S^{n-1}}V_{i}^{2}\operatorname{dvol}\left( V\right) =\frac{\omega_{n}}{n}$ since this expression is independent of $i$ y ya $\sum_{i=1}^{n}\int_{S^{n-1}}V_{i}^{2}\operatorname{dvol}\left( V\right) =\int_{S^{n-1} }\operatorname{dvol}\left( V\right) =\omega_{n}$, using $|V|^2=1$. We conclude with $\alpha_{ij}=\alpha (e_i,e_j)$ que $$ \int_{S^{n-1}}\alpha\left( V,V\right) \operatorname{dvol}\left( V\right) =\sum _{i,j=1}^{n}\int_{S^{n-1}}\alpha_{ij}V_{i}V_{j}\operatorname{dvol}\left( V\right) =\sum_{i=1}^{n}\int_{S^{n-1}}\alpha_{ii}V_{i}^{2}\operatorname{dvol}\left( V\right) =\frac{\omega_{n}}{n}\operatorname{Trace}{}_{g}(\alpha). $$

Answer 2

Permítanme añadir algunas referencias a continuación:

Una breve prueba de que el hecho de que la matriz de seguimiento es la expectativa de los valores numéricos, La American Mathematical Monthly 122 (2015), no. 8, 782-783, arXiv versión.

y una generalización a otros de la unidad de las esferas:

T. Kania y K. E. Morrison, El seguimiento como un promedio por encima de la unidad de la esfera de una normativa espacio con un 1-simétrica base, arXiv versión.