Para responder adecuadamente a su pregunta sobre la infinidad de primos, uno tendría que crear un muy versión restrictiva y estricta del área de la lógica matemática conocida como matemática inversa . (Esto se debe en parte a que la pregunta pide consecuencias aritméticas de una segundo orden declaración.) Este estricto escenario no ha sido desarrollado/estudiado todavía.
La investigación tradicional de la matemática inversa se basa en una teoría llamada $RCA_0$ Añadiéndole una versión débil del lema de König (que afirma que cada subárbol infinito del árbol binario completo tiene una rama) se obtiene un sistema denotado $WKL_0$ que es estrictamente más fuerte y ha sido ampliamente estudiado. $RCA_0$ es un sistema muy débil, pero demuestra la infinidad de primos y mucho más.
El estudio de los sistemas débiles de primera orden La aritmética también es un área muy estudiada, pero la mezcla de ambas está en su infancia, hasta donde yo sé.
En cuanto a la pregunta sobre el teorema del ideal primario, podemos hacerlo mejor, al menos en términos de la versión clásica del Lema de König: $WKL_0$ basta para demostrar que cada anillo conmutativo contable tiene un ideal primordial. Esto es todo lo que podemos esperar, ya que estamos limitados por el lenguaje de la aritmética de segundo orden, por lo que los anillos que podemos estudiar son contables.
Permítanme añadir un comentario un poco técnico sobre por qué responder a la pregunta parece difícil. Para las investigaciones formales que involucran a los números naturales, hay un mínimo que debemos adoptar para poder hablar de aritmética, a saber, la teoría $Q$ de La aritmética de Robinson . El fortalecimiento de este fragmento suele lograrse asumiendo la inducción de ciertas clases de fórmulas. Por ejemplo, $I \Delta_0 $ asume la inducción para las fórmulas limitadas. El estudio de las teorías en el vecindario de $I \Delta_0 $ es el tema de la aritmética limitada, véase por ejemplo el trabajo de Sam Buss . Todavía está abierto si $I \Delta_0 $ basta para probar la infinitud de los primos, pero basta con un poco más (por ejemplo, $I \Delta_0 $ más una versión del principio de encasillamiento).
Para abordar adecuadamente su problema, tendríamos que trabajar sobre una teoría que consistiera en una adecuada formalización del Lema de König (un principio de segundo orden), y un fragmento de primer orden alrededor del nivel de $I \Delta_0 $ si no más débil. Esto nos deja casi sin ningún dispositivo de codificación. La adopción del Lema de König debería ayudar a compensar esta debilidad, pero por otro lado, parece que hay muy pocos árboles que podamos construir en tal escenario a los que se aplique el Lema.
El problema parece interesante, y el escenario apropiado para este trabajo debería ser una extensión de lo que ahora se llama matemáticas inversas limitadas .
(Puede que también le interese esto La pregunta del modus operandi sobre pruebas formalizadoras de la infinitud de los primos).
