¿Cómo se hace el cambio de variables para integrales triples?

Question

Estoy evaluando la función en el siguiente bounds.$$\int_0^2\int_0^{\sqrt{4-x^2}}\int_0^{\sqrt{4-x^2-y^2}}z\sqrt{4-x^2-y^2}\,\mathrm dz\,\mathrm dy\,\mathrm dx$$

No sé cómo combinar integrales triples y cambio de variables. ¿Puede alguien me pasar por los pasos para este problema?

Gracias

Answer 1

el límite es un globo (un octavo en el primer octante). Usted puede cambiar a coordenadas esféricas.

$x=r\cos\theta\cos\phi$

$y=r\sin\theta\cos\phi$

$z=r\sin\phi$

$\mathrm{d}V=\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z=r^2\sin\phi\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\phi$

Answer 2

Como se dijo en un comentario a Lance la respuesta, la integral se toma durante el primer octante, ya que contamos con $x,y,z\ge0$. La esfera tiene radio de $2$, por lo que tenemos $0\le r\le 2$. Ahora $\theta$ es el ángulo de rotación sobre el $z$-eje. Es como $\theta$ en coordenadas polares. Ya que estamos sólo en el primer octante, $0\le\theta\le\frac{pi}{2}$. Ahora $\phi$ es el ángulo entre el vector y el $z-axis$. Hay un par de diferentes sistemas para definirlo. Algunas personas restringir $0\le\theta\le \pi$. Otros restringen $-\frac{\pi}{2}\le\theta\le \frac{\pi}{2}.$, En cualquier caso, debido a que sólo estamos tomando el hemisferio por encima de la $xy$-plano, $\phi$ tendrá un rango de longitud de $\frac{\pi}{2}.$

Utilizando el sistema dado en el Lance de la respuesta, tendremos $0\le \theta \le \frac{pi}{2}.$ (Observe que cuando se $\theta=0, z=r\sin \theta= 0,$ e al $\theta=\frac{\pi}{2}, z=r\sin \theta =r.$) Finalmente, la integral se convierte en $$\int_0^2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^{\frac{\pi}{2}}{r\sin \phi}\sqrt{4-r^2cos^2\phi}r^2\sin\phi\, \mathrm d\phi\, \mathrm d\theta\, \mathrm dr $$

Answer 3

\begin{align} & \int_0^2 \left( \int_0^{\sqrt{4-x^2}} \left( \int_0^{\sqrt{4-x^2-y^2}}z\sqrt{4-x^2-y^2}\,\mathrm dz\right) \,\mathrm dy \right)\,\mathrm dx \\[10pt] & \text{The innermost integral is easy:} \\ & \int_0^{\sqrt{4-x^2-y^2}} z \underbrace{\sqrt{4-x^2-y^2}}_\text{No %#%#% appears here.} \,\, \mathrm dz \\[10pt] = {} & \sqrt{4-x^2-y^2} \int_0^{\sqrt{4-x^2-y^2}} z\,\mathrm d z \\ & \text{This can be done because the factor that} \\ & \text{was pulled out does not depend on %#%#%.} \\[10pt] = {} & \sqrt{4-x^2-y^2} \cdot \frac{4-x^2-y^2} 2 = \frac 1 2 (4-x^2-y^2)^{3/2}. \\[10pt] & \text{So now we have} \\ & \frac 1 2 \int_0^2 \int_0^{\sqrt{4-x^2}} (4-x^2-y^2)^{3/2} \, \mathrm dy \, \mathrm dx \\[10pt] = {} & \frac 1 2 \iint\limits_{\{\,(x,y)\,:\, x^2+y^2\,\le\,4 \, x,y\,\ge\,0 \,\}} (4-x^2-y^2) \, \mathrm d(x,y) \\[10pt] = {} & \frac 1 2 \int_0^{\pi/2} \underbrace{\left( \int_0^2 (4-r^2)^{3/2} r\, dr \right)}_\text{No %#%#% appears here.} \, d\theta \\[10pt] = {} & \frac 1 2 \cdot \frac \pi 2 \int_0^2 (4-r^2)^{3/2} r\,dr \quad \text{This works because no %#%#% was in %#%#%.} \\[10pt] = {} & \frac \pi 4 \int_4^0 u^{3/2} \left( \frac{-du} 2\right) = \cdots \end{align}