Existencia de un grupo no abeliano de orden $p^n$.

Question

Pregunta:

Sea $p$ cualquier número primo y $n \geq 3$. Demuestra que existe un grupo no abeliano de orden $p^n$.

Intento:

Tomemos $n = 3$. Escribimos $\mathbb Z_p \times \mathbb Z_p = \{e, \alpha_1, \ldots, \alpha_{p^2 - 1}\}$ y consideramos $$\begin{align}\tau_{jk} : \mathbb Z_p \times \mathbb Z_p&\to \mathrm {Aut} (\mathbb Z_p)\,\\e &\mapsto id\\\alpha_j &\mapsto id \\\alpha_i &\mapsto \rho_k \end{align}$$

Para todo $i \neq j$, donde $\rho_k : \mathbb Z_p \to \mathbb Z_p$ está definido como $\rho_k (1) = k$, con $k \in \{2, \ldots, p-1\}$. Luego tomamos el grupo $(\mathbb Z_p \times \mathbb Z_p) \ltimes_{\tau_{jk}} \mathbb Z_p$.

Entonces $$(\alpha_i , 2) \ltimes_{\tau_{jk}} (\alpha_i, 1) = (2\alpha_i, 1 + \tau_{jk} (\alpha_i)(2)) = (2\alpha_i , 1 +2 k)$$

y $$(\alpha_i , 1) \ltimes_{\tau_{jk}} (\alpha_i, 2) = (2\alpha_i, 1 + \tau_{jk} (\alpha_i)(2)) = (2\alpha_i , 1 +k)$$

tomando $k = 1$ por ejemplo obtenemos que el grupo $(\mathbb Z_p \times \mathbb Z_p) \ltimes_{\tau_{jk}} \mathbb Z_p$ no es abeliano.

• Me preguntaba si este es un buen enfoque. Si no lo es, ¿hay una manera más fácil de llegar al resultado?

• Si este es el enfoque "mejor", ¿los casos con $n > 3$ serían más un juego de notación?

Answer 1

Toma un espacio vectorial sobre el campo de orden $p$ de dimensión $n-1$ y toma el producto semidirecto con $\mathbb Z_p$. Si puedes usar el hecho de que el orden del grupo lineal general es divisible por $p$, puedes usar el teorema de Cauchy para ver que podemos mapear un generador a una matriz de orden multiplicativo $p$ sin ni siquiera tener que construir explícitamente uno.

Answer 2

Sea $G$ el grupo de matrices unipotentes $3 \times 3$ con entradas en $\mathbf{F}_{p}$ (es decir, las matrices triangulares superiores $3 \times 3$ con $1$ en la diagonal). Es un grupo no abeliano de orden $p^{3}$, dado que $p$ es impar. Considera $G \times \mathbf{Z}/p^{n-3}\mathbf{Z}$, es un grupo no abeliano.