¿Hay una única solución a esta ecuación diferencial simple?

Question

Estoy tratando de establecer la unicidad de una solución a un problema mayor, y se reduce a si o no la ecuación diferencial tiene una solución única:

$$f'(t)⋅(f(t)-t)=K$$

Claramente, una solución a esta ecuación diferencial es $f(t)=t+K$. ¿Hay otras soluciones para esta ecuación diferencial?

Answer 1

Deje $g(t)=f(t)-t$ $f$ es una solución si y sólo si $g$ resuelve la ecuación diferencial autónoma $$g'(t)=A(g(t)),\qquad A:x\mapsto(K-x)/x,$$ for every $x\ne0$. Studying the sign of $$, one sees that every initial condition $g(0)=x_0$ produce:

• una disminución de la solución de $g$ con límite de $-\infty$ si $x_0\lt0$,
• una solución cada vez más, $g$ con límite de $K$ si $0\lt x_0\lt K$,
• la constante de la solución de $g=K$ si $x_0=K$,
• una disminución de la solución de $g$ con límite de $K$ si $x_0\gt K$.

Por lo tanto, hay un montón de soluciones de... la Resolución de la educación a distancia en $g$, se obtiene para cada $t$, $$(f(t)-t-K)\cdot\exp(f(t)/K)=(f(0)-K)\cdot\exp(f(0)/K).$$

Answer 2

Respuesta corta; Sí. Respuesta larga;

Que %#% $ #%

$$(v'(t)+1) v (t) = k \iff v'(t) = \frac{k-v(t)}{v(t)} \iff \frac{v'(t) v(t)}{k-v(t)} = 1 \iff \int \frac{v'(t) v(t)}{k-v(t)} \mathrm{d}t = \int 1 \mathrm{d}t \iff-(k \log(-k+v(t)))-v(t) = t+c_1 \iff v(t) = k \ izquierda (W \left (\frac{1}{k e ^ {\frac {t + c_1} {k}}} \right) +1 \right) \iff f (t) = k + t + k W\left (\frac{1}{k e ^ {\frac {t + c_1} {k}}} \right) $$