converge la $\sum a_nx^n$ $|x|<1$ y $\sum a_n$ converge

Question

Supongamos $\{ a_n \}$ es una secuencia de no-negativos de los números reales y $\sum a_nx^n$ converge para $|x|<1$. Si $\lim_{x \rightarrow 1^-}\sum a_nx^n=A$, demuestran que, a $\sum a_n$ converge a $A$.

Mi intento: dado $\epsilon>0$, podemos encontrar $\delta$ que si $x \in (1-\delta,1)$$|\sum a_nx^n-A| < \epsilon$. Ahora considere el $|\sum a_n - A| \leq |\sum a_n - \sum a_nx^n| + |\sum a_nx^n-A|$ y desde $x^n \rightarrow 1$$x \rightarrow 1^-$, $|\sum a_n - \sum a_nx^n| \rightarrow 0$ $\sum a_n$ converge a $A$. Es mi prueba válida? Gracias.

Edit: Según lo sugerido por @Clemente C., mis notas también decir que por Tauberian teorema si podemos demostrar que $\lim_{n \rightarrow \infty}na_n=0$, entonces podemos concluir que la declaración. Me pregunto si esto es posible.

Answer 1

Supongamos que $\sum_{n=1}^\infty an = B \in [0, \infty]$. Por supuesto $\sum{n=1}^\infty an \ge \sum{n=1}^\infty a_n x^n$, por lo que debemos tener $B \ge A$.

Por otro lado, supongamos que $B > A$. Lo tomar $C_1, C_2$ $B > C_1 > C2 > A$. Debe haber $N$ tal que $\sum{n=1}^N a_n \ge C_1$. Lo tomar $r \in (0,1)$ $r^N > C_2/C_1$. Entonces si $r A$.