Haz $AB$ y $BA$ tienen los mismos valores propios?

Question

Supongamos que $A$ y $B$ son $n \times n$ matrices y ambas son invertibles. ¿Podemos decir que $AB$ y $BA$ tienen los mismos valores propios?

Answer 1

Un resultado más general:

Si $A$ y $B$ son $n \times n$ matrices, entonces tenemos para un escalar $\lambda \ne 0$ :

$\lambda$ es un valor propio de $AB$ si $\lambda$ es un valor propio de $BA$ .

Prueba: si $\lambda$ es un valor propio de $AB$ , entonces hay $x \ne 0$ tal que

$(*)$ $ABx= \lambda x$ .

Dejemos que $y:=Bx$ . Entonces $y \ne 0$ (de lo contrario, obtendríamos de $(*)$ que $\lambda =0$ o $x=0$ ).

Ahora tenemos

$$BAy=BABx=B(ABx)=B( \lambda x)=\lambda Bx = \lambda y.$$

De ello se desprende que $\lambda$ es un valor propio de $BA$ .

Answer 2

Sí, esto es correcto. Tienen el mismo polinomio característico. Mira en Wikipedia .