Supongamos que $A$ y $B$ son $n \times n$ matrices y ambas son invertibles. ¿Podemos decir que $AB$ y $BA$ tienen los mismos valores propios?
Un resultado más general:
Si $A$ y $B$ son $n \times n$ matrices, entonces tenemos para un escalar $\lambda \ne 0$ :
$ \lambda$ es un valor propio de $AB$ si $ \lambda$ es un valor propio de $BA$ .
Prueba: si $ \lambda$ es un valor propio de $AB$ , entonces hay $x \ne 0$ tal que
$(*)$ $ABx= \lambda x$ .
Dejemos que $y:=Bx$ . Entonces $y \ne 0$ (de lo contrario, obtendríamos de $(*)$ que $ \lambda =0$ o $x=0$ ).
Ahora tenemos
$$ BAy=BABx=B(ABx)=B( \lambda x)=\lambda Bx = \lambda y.$$
De ello se desprende que $\lambda$ es un valor propio de $BA$ .
Si $A, B$ son cuadrados y $AB$ es invertible entonces $A$ y $B$ son ambos invertibles, por lo que se puede eliminar el $\lambda \neq 0$ supuesto. $0$ es un valor propio de $AB$ si y sólo si $0$ es un valor propio de $BA$ . (Equivalentemente, $AB$ es invertible si y sólo si $BA$ es invertible).
Sí, esto es correcto. Tienen el mismo polinomio característico. Mira en Wikipedia .
¿podría demostrarlo con el uso de la diagonalización de las matrices? Intenté escribir estas matrices como producto de una matriz con vectores propios y una matriz digonal con valores propios pero no pude demostrarlo.
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