Encuentre el mínimo de$a+b+c+\frac1a+\frac1b+\frac1c$ dado que:$a+b+c\le \frac32$

Question

Encuentre el mínimo de$a+b+c+\frac1a+\frac1b+\frac1c$ dado que:$a+b+c\le \frac32$ ($a,b,c$ son números reales positivos).

Hay una solución, que se basa en adivinar el caso mínimo que ocurre en$a=b=c=\frac12$ y luego aplicar la desigualdad AM-GM, pero ¿qué pasa si uno NO PUEDE adivinar eso?

Answer 1

Sugerencia: por el AM-HM (aritmética-media armónica) de la desigualdad:

$$ \frac{a+b+c}{3} \ge \frac{3}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}} \;\;\ffi\;\; \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \ge \frac{9}{a+b+c} $$

Deje $x=a+b+c \in (0,\frac{3}{2}]\,$, entonces la expresión para ser minimizado puede ser escrita como:

$$ a+b+c+\frac1a+\frac1b+\frac1c \ge a+b+c+\frac{9}{a+b+c} = x + \frac{9}{x} $$

La función de $f(x)=x + \frac{9}{x}$ es la disminución en el $(0,\frac{3}{2}]\,$, lo $f(x) \ge f(\frac{3}{2})=\frac{15}{2}\,$$x \in (0,\frac{3}{2}]$.

El valor mínimo de $\frac{15}{2}$ es alcanzado cuando $x=\frac{3}{2}$ y AM=HM es decir $a=b=c=\frac{x}{3}=\frac{1}{2}\,$.

Answer 2

$a=b=c=\frac{1}{2}$ Obtenemos un valor $\frac{15}{2}$.

Se le demuestra que es un valor mínimo.

De hecho, tenemos que demostrar $$\sum{cyc}\left(a+\frac{1}{a}-\frac{5}{2}\right)\geq0$ $ o $$\sum{cyc}\frac{(a-2)(2a-1)}{a}\geq0$ $ o $$\sum{cyc}\left(\frac{(2a-1)(a-2)}{a}+3(2a-1)\right)+6\left(\frac{3}{2}-a-b-c\right)\geq0$ $ o $$\sum{cyc}\frac{2(2a-1)^2}{a}+6\left(\frac{3}{2}-a-b-c\right)\geq0,$ $, que es evidente.

¡Hecho!

Answer 3

la desigualdad es equivalente a $ #% de $$2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+2(a+b+c)\geq 15$% #% obtenemos $AM-HM$$$a+b+c\geq \frac{9}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}$% $ $ thus $así tenemos $2(a+b+c)\geq \frac{18}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}$ $ ajuste $$2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+\frac{18}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}\geq 15$ $ así que tenemos que demostrarlo $$t=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$ $ es equivalente a $$2t+\frac{18}{t}\geq 15$$$2t^2-15t+18\geq 0$$ or $$t\le \frac{3}{2}$% $ $ or $o nosotros podemos considerar la función $t\geq 6$$$f(t)=2t+\frac{18}{t}$$ and $$f'(t)=2-\frac{18}{t^2}$$ and $$f'(t)=0$t = 3$

Answer 4

WLOG $a\geq b\geq c.$

Deje $f(a,b,c)=a+b+c+1/a+/b+1/c.$

Para un valor dado de a $a+b+c,$ deje $c$ permanecen constantes mientras que $a,b$ variar , sujeto a la restricción de que $a+b$ es constante, por lo que el $a+b+c$ también se mantiene constante. A continuación,$db/da=-1$$d(1/b)/da=1/a^2 .$, por Lo que con la constante $c$ hemos $$df(a,b,c)/da=-1/a^2+1/b^2=(a-b)(a+b)/a^2b^2\geq 0$$ (because $a\geq b$). So we cannot have a minimum of $f(a,b,c)$ for a given value of $a+b+c$ unless $a=b.$

La aplicación de este método, dejando $a$ constante y dejando $b,c$ variar, sujeto a la restricción de que $b+c$ es constante, podemos ver también que no podemos tener un mínimo de $f$ para un valor dado de a $a+b+c$ si $b=c.$

Por lo tanto para cada una de las $S\in (0,3/2]$ hemos $$\min \{f(a,b,c): a+b+c=S\}=f(S/3,S/3,S/3)=S+9/S.$$ The least value of $S+9/S$ for $S\en (0,3/2]$, is $15/2,$ which occurs uniquely at $S= 3/2.$ And as we have seen , this only occurs when $a=b=c=S/3=1/2.$

Answer 5

Usted puede utilizar multiplicadores de Lagrange método para mostrar que necesitamos $a=b=c$. La optimización del problema sería minimizar $a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$, teniendo la restricción $a+b+c=t , t\leq \frac{3}{2}$.

$$F=a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\lambda(a+b+c-t)$$

Entonces, tenemos que encontrar la $t$, por lo que el mínimo es alcanzado. Sabiendo que $a=b=c$, el problema se simplifica a la minimización de

$$3(a+\frac{1}{a})$$

Como se ha mencionado en los comentarios, es un problema convexo y alcanza su mínimo en $a=1$. Sin embargo, la restricción $a+b+c\leq\frac{3}{2}$ no permitir $a=1$. Así, debido a la convexidad, debe disminuir el $a$ hasta que se cumple la restricción.