¿Es el teorema de Pitágoras sobre distancias o áreas?

Question

En $\mathbb{R}^2$ con el 1-norma o $\infty$-norma, de Pitágoras teorema es falso para longitudes de los lados de un "ángulo recto" triángulo, pero es cierto para las áreas de formas de los lados. Por ejemplo, dado un triángulo con las coordenadas $(0,0)$, $(4,0)$, $(0,3)$, los lados tienen longitud 3,4,7, o 3,4,4 (según la norma); pero las áreas de los cuadrados sobre los lados son todavía 9,16,25 porque la medida de Lebesgue es independiente de la norma.

Hay una relación entre las medidas y normas que son "compatibles" con ellos? En este caso, la medida de Lebesgue parece encajar de forma más natural con la distancia Euclídea debido a que el área de un rectángulo, por ejemplo, es proporcional al producto de las longitudes de sus lados, pero no sé si hay una fórmula sencilla en términos de la 1-las longitudes de sus lados. Si hay una teoría sobre esto no se menciona en los libros de texto.

Answer 1

Tienes razón que el teorema de Pitágoras es, naturalmente, una declaración acerca de las áreas. Euclides de la prueba implica geométrica de la disección, y ahí está la mancha de la prueba por la caída de una perpendicular desde el ángulo recto de la hipotenusa, que divide el triángulo original en dos más pequeños, similares triángulos, cuyas áreas, obviamente, la suma que el área del triángulo original, y cuyos respectivos hipotenusas son las patas del triángulo original.

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No existe una fórmula para el área de un rectángulo en términos de las longitudes de sus lados en la $1$-norma, es decir, debido a que las longitudes de los lados no únicamente determinar el área (es decir, el producto de la $2$-normas de los lados).

Por ejemplo, si $a$ $b$ son positivos, el cuadrado con las esquinas $$ (a, 0),\quad (a + b, a),\quad (b, a + b),\quad (0, b) $$ tiene lados de ($1$-norma) longitud de $s = a + b$. Su área, $$ A = a^{2} + b^{2} = (a + b)^{2} - 2ab = s^{2} - 2ab, $$ no es el único especificado por $s$.

(Supongo que uno podría girar un rectángulo a ser el eje orientado antes de usar las longitudes de los lados para calcular el área, pero Euclidiana rotación no conservar no-Euclidiana normas, por lo que el proceso parece artificial.)

Answer 2

Respuesta: de Pitágoras teorema es todo acerca de las distancias y de las simetrías en el Plano Euclidiano.

Configuración: Usted nunca ha estudiado Euclidiana Geometría del Plano. En su lugar, usted está buscando en $\mathbb{R}^2$ como un espacio vectorial, y desea que se corresponden a lo que ocurre cuando los puntos, líneas, triángulos y círculos están construidos sobre un pedazo de papel cuadriculado.

Tienes ecuaciones lineales, pero su problema es encontrar las $\mathbb{R}^2$ ecuación para los círculos.

Respuesta: Usted quiere crear un vector de longitud de la fórmula que se alinea a la medición de longitudes con una regla sobre papel cuadriculado. La marca de graduación de $1$ en la regla coincide con las coordenadas $(1,0)$ $x\text{-axis}$ en su papel de gráfico. También de comprar una brújula en un local de la tienda de arte.

Salida en falso: Usted viene para arriba con la idea de la $1\text{-norm}$, pero tan pronto como usted gráfica de los vectores de distancia $1$ de la $0$ vector que tirar esa idea (la $1\text{-norm}$ 'círculo' no coincide con el compás de dibujo).

Usted está seguro de que la desigualdad de triángulo debe tener:

$\|\mathbf {v} +\mathbf {w} \|\leq \|\mathbf {v} \|+\|\mathbf {w} \|$

O, ajuste, $\mathbf {u} = \mathbf {v} +\mathbf {w}$, y aplicando el teorema del binomio,

$\tag 1 \|\mathbf {u}\|^2 \leq \|\mathbf {v} \|^2+\|\mathbf {w} \|^2 + 2 \|\mathbf {v} \| \|\mathbf {w} \| $

Dibujar algunas figuras de vector de punta a cola, además,

imaginando el $\mathbf w$ vector se mueve continuamente de la "misma dirección" de ángulo de $0$ $\mathbf v$ a la negativa opuesto al ángulo de 180 grados. Esto se excitado - progreso podría hacerse mediante la adaptación de las propiedades del valor absoluto (en $\text{ 1-dim }$ espacio) en el plano de la geometría, de modo que usted escribe:

$\tag 2 \|\mathbf {v} \|^2+\|\mathbf {w} \|^2 - 2 \|\mathbf {v} \| \|\mathbf {w} \| \le \|\mathbf {u}\|^2 \leq \|\mathbf {v} \|^2+\|\mathbf {w} \|^2 + 2 \|\mathbf {v} \| \|\mathbf {w} \| $

Pero usted puede escribir (2) de esta manera:

$\tag 3 \|\mathbf {u}\|^2 = \|\mathbf {v} \|^2+\|\mathbf {w} \|^2 - 2 \|\mathbf {v} \| \|\mathbf {w} \| \, \tau $

donde $\tau$ varía continuamente entre $-1$ $+1$ como el ángulo que $\mathbf {w}$ $\mathbf {v}$ varía.

Su favorito ángulo es de 90 grados, y este es el 'punto medio' de vectores $\mathbf {w}$'s de cruce seguro de viaje. Es posible que el desconocido la disminución de la función $\tau$ '' golpear el punto medio de su rango, $0$, en este ángulo?

Ahora, utilizando la fórmula de la norma

$\|\mathbf {u}\| = \sqrt {x^2 + y^2}$ donde $\mathbf {u} = (x,y)$,

la gráfica del círculo $x^2 + y^2 = 1$ es exactamente lo que quería ver; de que usted haya encontrado la norma Euclídea para $\mathbb{R}^2$!

Como su teoría se desarrolla sin ningún problema, sólo puede sonreír cuando usted encuentra que el trabajo de Juan Molokach en la Ley de los Cosenos y aprender acerca de la Polarización de la identidad y su relación con la Ley de los Cosenos.

Otra forma de obtener el Plano Euclidiano de modelado con $\mathbb{R}^2$ coordenadas es posible con la ayuda de Euclides - ver la Verdadera Cálculo de la Prueba del Teorema de Pitágoras /Juan Molokach.