¿Con qué frecuencia un planeta con 3 lunas no tiene luna en el cielo?

Question

Estoy diseñando un sistema planetario para un juego de rol con 3 lunas con diferentes órbitas. He creado una hoja de cálculo de excel para planificar un día en el "actual" del año, donde todos los tres lunas en el "luna nueva" o escondidos del planeta etapa, pero yo quería saber cómo calcular cuán raro este evento era. Me gustaría que el propósito general de la solución. Me doy cuenta de que con ciertas luna gira alrededor de la solución es simplemente no puede ser posible (por ejemplo, si todos ellos tienen la misma órbita).

Sé que el sistema de ecuaciones para este problema es la siguiente

$$M_1(t) = \left| (t + S_1 \mod P_1) - \frac {P_1}2\right|$$ $$M_2(t) = \left| (t + S_2 \mod P_2) - \frac {P_2}2\right|$$ $$M_3(t) = \left| (t + S_3 \mod P_3) - \frac {P_3}2\right|$$

Donde:

$$M_1,M_2,M_3\text{ represent the current phase of the moon on a given day}$$ $$S_1,S_2,S_3\text{ represent the position of the moon at t=0}$$ $$P_1,P_2,P_3\text{ represent how many days it takes the moon to orbit the planet}$$

Y quiero saber para qué valores de t $M_1=M_2=M_3=0$

Como dije, quiero una fórmula general, si es que existe (o al menos un mecanismo para la solución de la misma) para determinar el período. Pero yo sería feliz con una solución específica para $$S_1=4,S_2=20,S_4=18,P_1=14,P_2=30,P_3=34$$

EDIT: me había equivocado de la fórmula para la fase actual, se me olvidó que va para arriba y luego hacia abajo y no de inmediato a 0

EDIT 2: yo podría estar completamente equivocado acerca de todo esto de la metodología que utilizan este sistema de ecuaciones complejas...si ese es el caso, en realidad, yo sólo quiero saber la respuesta a mi pregunta de "¿cuál es la frecuencia de un planeta con 3 lunas no tienen la luna en el cielo?"

Answer 1

Para el finde $t$ de manera tal que todas las fases son cero, desea que el teorema del resto Chino. Si $P_1,P_2,P_3$ no tienen ningún factor común, habrá una solución cada $P_1P_2P_3$ días. Si ellos tienen un factor común, no será uno cada $LCM(P_1,P_2,P_3)$ días o no, dependiendo de si las diferencias de fase comparten el factor común.

Para editar 2, es bastante simple. Si cada luna en el cielo $\frac 12$ del tiempo, cada uno serán desaparecidos $\frac 12$ del tiempo, y todos ellos serán ido $\frac 18$ del tiempo. El mismo teorema del resto Chino dice que su ausencia es independiente en el largo plazo.

Answer 2

Para satisfacer la primera ecuación,$t=3+14k$.
Para satisfacer la segunda ecuación,$3+14k+20+15$ es un múltiplo de 30, entonces$14k+38$ es un múltiplo de 15, así que$8-k$ es un múltiplo de 15,$k=8+15q$. Y así.