Grupo fundamental de la $T/\mathbb Z_2\setminus\{\text{singular points}\}$

Question

Deje $T=S^1\times S^1$. Hay un $\mathbb Z_2$-acción en $T$ definido por $x\sim -x$ (considerando $T$ como cociente de $\mathbb R^2$).

El cociente $X:=T/\mathbb Z_2$este tiene cuatro puntos singulares, decir $x_1,...,x_4$ (correspondientes a las cuatro de la mitad de celosía puntos en $\mathbb R^2$). Quiero calcular el grupo fundamental de la $X\setminus\{x_1,...,x_4\}$.

Hasta ahora lo que yo podía pensar de los siguientes:

Considere la posibilidad de $Y:=T\setminus\{x_1,...,x_4\}$ (abuso de notación). A Continuación, $Y\tilde = S^1\vee S^1\vee S^1\vee S^1\vee S^1.$ Ahora $X=Y/\mathbb Z_2$. Así que tenemos que comprobar cómo se $\mathbb Z_2$ actúa en la $S^1$-sumandos.
A partir de estos podemos elegir tres sumandos a ser pequeños círculos alrededor de una singularidad. El $\mathbb Z_2$-acción en ellos es simplemente la $\mathbb Z_2$-acción en un círculo con el centro $0$ en $\mathbb R^2$.
Así que para ellos, $S^1/\mathbb Z_2=\mathbb RP^1=S^1$.

Pero, ¿y los otros dos sumandos? Ellos parecen estar pegadas juntas en una, de forma que el $\mathbb Z_2$ acción de los actos más complicado.

Actualización: Gracias al comentario de Mike Miller, que fue capaz de buscar la construcción de la "funda". ASÍ que esto es básicamente respondió. Sin embargo, yo estaría interesado en generalizaciones de este en las dimensiones superiores. Por ejemplo, $T^4/\mathbb Z_2$.

Answer 1

Usted puede pensar de $T^2 = \Bbb R^2/\Bbb Z^2$ como $[0,1]^2$ con bordes opuestos identificados; esta imagen como la unidad de la plaza en $\Bbb R^2$. Que $[0,1]^2$ es fundamental dominio significa, precisamente, que todo en la $\Bbb R^2$ es equivalente a un punto en $[0,1]^2$, y la única que queda de las relaciones de pegamento las piezas de la frontera. En este caso, se $(0,t) \sim (1,t)$ e $(t,0) \sim (t,1)$.

La acción de negación de la unidad de la plaza en $\Bbb R^2/\Bbb Z^2$ es para enviar $$(x,y) \mapsto (-x, -y) \sim (1-x, 1-y).$$ So pictured on the unit square, the action is reflection across $(\frac 12, \frac 12)$.

Después de quotienting por esta acción, todo en la plaza de la unidad es equivalente a algo en $[0, 1/2] \times [0, 1]$. Los puntos en el interior son equivalentes a ningún otro de los puntos en el interior, así que la única cosa que queda es entender las formas en que el límite juntos pega. Este es un procedimiento sistemático que no requiere ninguna habilidad por nuestra parte, sólo nos fijamos en la frontera y ver cómo colas bajo nuestro dadas las relaciones.

Sabemos que $(t,0) \sim (t, 1)$ de la habitual de las relaciones en el toro; esto nos da el encolado de arriba a abajo usted puede ver que hay. Ahora tenemos un cilindro.

También sabemos de la reflexión de la relación que $(1/2, t) \sim (1/2, 1-t)$ e $(0,t) \sim (1,1-t)$, y esto es equivalente a $(0,1-t)$. Estos son los dos "doblar los bordes" de las relaciones que ves en la imagen. En el cilindro, es como pegar el límite de los círculos juntos por "el plegamiento de ellos en un pliegue": aquí es donde la funda de la almohada imagen viene de.

No hay ninguna dificultad en la realización de este en dimensiones superiores: se trabaja con $[0,1]^n$, la reflexión de la relación se reduce a la comprensión de la gluings en el límite de $[0,1/2] \times [0,1]^{n-1}$.