$K[X^2,X^3]$ es un anillo de factorización no único

Question

Deje $K$ ser cualquier campo. Me gustaría demostrar que cualquier elemento de a$K[X^2,X^3]$ se puede escribir como un producto de elementos irreductibles, en un posiblemente no único de la moda. El no única parte que puede ser fácilmente demostrado al notar que $$X^6 = (X^2)^3=(X^3)^2$$ y dado que $X^2$ e $X^3$ son tanto irreductible en $K[X^2,X^3]$ (escrito de cualquiera de ellos como un producto de dos no es invertible elementos se encuentran en un factor de grado $1$, lo cual puede no ser un elemento de $K[X^2,X^3]$).

Sin embargo, no puedo encontrar la manera de probar la existencia de tal descomposición. Podría alguien por favor dar una mano para este ejercicio ?

Answer 1

<span class="math-container">$K$</span>-Álgebra <span class="math-container">$K[X^2,X^3]$</span> es finitamente generado sobre <span class="math-container">$K$</span>, así que por el teorema de la base de Hilbert, es noetheriano. En particular, satisface ACC en ideales principales, por lo tanto cada elemento tiene una factorización en realizar.

Answer 2

Otro enfoque: dominios de factorización única son normales, es decir, integralmente cerrado en su campo de fracciones. Pero el campo de las fracciones de su dominio es <span class="math-container">$k(x)$</span>, y el cierre de su dominio en esta <span class="math-container">$k[x]$</span>.