¿Hay un sistema en que la división de 0 por 0 se define?

Question

La razón que pido es que he descubierto que, aunque no satisfacen todos los axiomas, hay conjuntos llamados projectively extendido recta numérica real y la esfera de Riemann, que se ℝ∪{∞} y ℂ∪ {∞}, donde la división de cada número distinto de cero de la serie por 0 se define como ∞. Sin embargo, los dos conjuntos de' operaciones aritméticas no son total y algunas operaciones quedan indefinido. Estos incluyen: ∞+∞, ∞-∞, ∞·0, 0·∞, ∞/∞, y 0/0. Mi pregunta es que si hay, o podría ser un campo en el conjunto que también puede definir los resultados de estas operaciones. Y podría haber una definición lógica de las operaciones, especialmente 0/0?

Answer 1

Un enfoque diferente de la estructura de la rueda(s) en E. José's respuesta está dada por considerar el lineal/subespacios vectoriales en el plano (por ejemplo, $\mathbb R^2$), considerado como relaciones binarias y con los correspondientes operaciones.

La motivación

Una manera de ver los números es como lineal de operadores: El número de $r$ corresponde a la función dada por $f(x)=rx$. Esto nos da una nueva lente a través del cual examinar las cosas, especialmente la multiplicación y la inversos multiplicativos.

Dado $f(x)=rx$ e $g(x)=sx$, a continuación, $f\circ g$ envía $x$ a $(rs)x$, por lo que la multiplicación surge como la composición de funciones. Del mismo modo, para $r\ne0$, la función inversa de a$f(x)=rx$ serían $f^{-1}(x)=\left(\frac{1}{r}\right)x$.

Ambos de estas ideas puede ser entendida en el más generalidad como de la composición de relaciones y relaciones inversas (a veces llamado conversar relaciones). Así que si seleccionamos un poco más amplia de la clase de relaciones que "1-d lineal de los operadores", podemos incrustar los números en una estructura más grande. Pensando en los gráficos de estos operadores/las relaciones, una "clase más amplia" todos los subespacios del avión.

El programa de instalación

Viejos y Nuevos Elementos

Para cada número de $r$, con la correspondiente subespacio $[r]=\{(x,y)\mid y=rx\}$. Así que los números pueden ser vistos como no-líneas verticales que pasa por el origen con el número como su pendiente.

Hay otros tres subespacios del plano:

1. La línea vertical $\{(x,y)\mid x=0\}$, lo que vamos a denotar por $\infty$.
2. El origen $\{(0,0)\}$, lo que vamos a denotar por $\bot$.
3. Todo el avión, que vamos a denotar por $\top$.

Las operaciones

Hay cuatro particularmente importante en las operaciones con números: la unario operaciones de negación (aka menos) y recíprocos, y el binario de las operaciones de la adición y la multiplicación.

Todos estos pueden ser entendidas en términos de los correspondientes subespacios, sin recurrir a la estructura no lineal directamente:

1. La negación de la $[r]=\{(x,y)\mid y=rx\}$ debe $\{(x,y)\mid y=(-r)x\}$, que es $\{(x,y)\mid (x,-y)\in [r]\}$.
2. Si $r\ne0$, el recíproco de $[r]=\{(x,y)\mid y=rx\}$ debe $\{(x,y)\mid y=(r^{-1})x\}$, que es $\{(x,y)\mid (y,x)\in [r]\}$.
3. La suma de $[r]=\{(x,y)\mid y=rx\}$ e $[s]=\{(x,y)\mid y=sx\}$ debe $\{(x,y)\mid y=(r+s)x\}$, que es $\{(x,z)\mid \exists y_1,y_2: (x,y_1)\in [r] \land (x,y_2)\in [s]\land y_1+y_2=z\}$.
4. El producto de $[r]=\{(x,y)\mid y=rx\}$ e $[s]=\{(x,y)\mid y=sx\}$ debe $\{(x,y)\mid y=(rs)x\}$, que es $\{(x,z)\mid \exists y: (x,y)\in [s] \land (y,z)\in [r]\}$ (el orden es inspirada por componer las funciones lineales).

Pero estas últimas caracterizaciones de trabajo, así como para otras relaciones, así que vamos a tomar esas definiciones generales:

1. $-R=\{(x,y)\mid (x,-y)\in R\}$
2. $R^+=\{(x,y)\mid (y,x)\in R\}$ (podríamos llamar a este pseudoinverse)
3. $R+S=\{(x,z)\mid \exists y_1,y_2: (x,y_1)\in R \land (x,y_2)\in S\land y_1+y_2=z\}$
4. $R*S=\{(x,z)\mid \exists y: (x,y)\in S \land (y,z)\in R\}$

En particular, podemos mirar a $[0]^+$ (aunque la $\frac{1}{0}$ no define un número) y evaluar ninguna de estas operaciones en los tres subespacios que no corresponden a los números.

0/0?

No hemos definido la división, pero para números de $r,s$ con $r\ne0$, $[s/r]=[s]*[r]^+=[r]^+*[s]$. Por lo tanto, $0/0$ podría ser interpretado como $[0]*[0]^+$ o $[0]^+*[0]$.

Tenga en cuenta que $[0]^+=\infty$ (si reflejan una línea horizontal sobre la $y=x$ consigue una línea vertical), por lo que la cuestión se reduce a que el valor de la(s) $[0]*\infty$ e $\infty*[0]$.

Para $[0]*\infty$, el único de entrada de $\infty$ permite es $0$ y la única salida de $[0]$ es $0$, así que esto es sólo el origen: $\bot$.

Para $\infty*[0]$, $[0]$ envía todas las entradas de a $0$, e $\infty$ envía $0$ a todas las salidas, así que esto es todo el plano: $\top$.

Tablas De Operación

La integridad, la podemos mostrar todos los resultados de estas operaciones. A continuación, $r$ e $s$ representar cualquier número distinto de cero.

La negación

\begin{matrix}X: & [r] & [0] & \infty & \bot & \top\\ -X: & [-r] & [0] & \infty & \bot & \top \end{de la matriz}

Pseudoinverse

\begin{matrix}X: & [r] & [0] & \infty & \bot & \top\\ X^{+}: & [\frac{1}{r}] & \infty & 0 & \bot & \top \end{de la matriz}

Además

Tenga en cuenta que además de estos subespacios es conmutativa ya que además de los números es: \begin{array}{r|ccccc}+ & [s] & [0] & \infty & \bot & \top\\\hline{}[r] & [r+s] & [r] & \infty & \bot & \top\\{}[0] & [s] & [0] & \infty & \bot & \top\\\infty & \infty & \infty & \infty & \infty & \infty\\\bot & \bot & \bot & \infty & \bot & \infty\\\top & \top & \top & \infty & \infty & \top\end{array}

La multiplicación

Puesto que la Multiplicación no es conmutativa, $R*S$ será la entrada de la fila $R$ y la columna de $S$: \begin{array}{r|ccccc} * & [s] & [0] & \infty & \bot & \top\\\hline [r] & [rs] & [0] & \infty & \bot & \top\\{} [0] & [0] & [0] & \bot & \bot & [0]\\ \infty & \infty & \top & \infty & \infty & \top\\ \bot & \bot & [0] & \bot & \bot & [0]\\ \top & \top & \top & \infty & \infty & \top \end{array}

Fuente

Ninguna de estas ideas son mías. La primera vez que vi esto en la Gráfica Álgebra Lineal blog (aunque no es envuelto con una discusión de que, bueno, gráfica álgebra lineal). El más relevante de entrada es Mantener la Calma y la división por Cero, pero los siguientes dos entradas contienen interesantes contexto. Dada su trabajo en la gráfica álgebra lineal, este enfoque puede haber sido descubierto por Paweł Sobociński.

Answer 2

Hay una estructura llamada una rueda, cuyo propósito es definir la división por $0$. Más específicamente, se $x/0$ para $x\ne 0$ e $0/0$ en una rueda, y esos dos elementos no son los mismos.

Se utiliza para formel cálculos en los equipos.

Usted puede encontrar más información no (y cómo es formalmente construidos).