¿En general, un polinomio es lo mismo que una función polinómica?

Question

El libro de álgebra dice que un polinomio en una variable sobre $\mathbb{R}$ está dado por,

$$f(x)= a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0$$

Donde $x$ es una cantidad desconocida que conmuta con los números reales, llamada "indeterminada".

Así que tengo algunas preguntas,

1. ¿Un polinomio siempre es una función? Si no, ¿qué es un polinomio en general?
2. ¿Y qué pasa con la cosa de la "indeterminada"? ¿Está mal llamarlo simplemente una variable?
3. ¿Qué exactamente es el $x$ en la expresión? ¿Un número? ¿Una matriz? ¿O... algún otro objeto? ¿Por qué tiene que "conmutar" con los números reales?

Answer 1

NO, un polinomio no es una función. Sin embargo, para cada polinomio $p(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n$ se puede considerar la función polinómica$$\begin{array}{rccc}p\colon&\mathbb R&\longrightarrow&\mathbb R\\&x&\mapsto&a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n.\end{array}$$Y polinomios distintos se asociarán con funciones distintas. Sin embargo, aunque esto es cierto sobre los reales, no se cumple en general. Por ejemplo, si se trabaja sobre el campo $\mathbb{F}_2$, entonces el polinomio $x^2-x$ y el polinomio nulo son polinomios distintos, pero la función$$\begin{array}{ccc}\mathbb{F}_2&\longrightarrow&\mathbb{F}_2\\x&\mapsto&x^2-x\end{array}$$es la función nula.

Por lo tanto, un polinomio (sobre los reales) es una expresión del tipo $a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n$, donde $x$ es una entidad sobre la cual asumimos que conmuta con cada número real. Por lo general, se le llama un “indeterminado” ya que no es un número real específico.

Answer 2

1. ¿Un polinomio siempre es una función?

No, nunca.

2. ¿Y qué pasa con la cosa "indeterminada"? ¿Está mal simplemente llamarla una variable?

Sí, está mal. Formalmente un polinomio es una secuencia $(a_0, a_1, \ldots)$ tal que $a_i=0$ eventualmente. Es una secuencia de coeficientes, no es una función. Cada coeficiente se toma de un anillo fijo, por ejemplo, los reales, números complejos o campos finitos. El anillo subyacente también se llama anillo de escalares. Con eso podemos definir una adición de polinomios específica, una multiplicación de polinomios y una multiplicación escalar.

3. ¿Qué es exactamente el $x$ en la expresión? ¿Un número? ¿Una matriz? ¿O...algún otro objeto? ¿Por qué tiene que "conmutar" con los números reales?

$x$ es simplemente un polinomio especial de la forma $(0,1,0,0,\ldots)$. Es un teorema que cada polinomio se puede escribir de forma única como una suma finita $\sum a_ix^i$ con $a_i$ escalares.

Es importante distinguir los polinomios de las funciones polinomiales. Por ejemplo, si $K$ es un campo finito, es decir, $K=\{a_1, \ldots, a_m\}$, entonces toma el polinomio $f(X)=(X-a_1)\cdots(X-a_m)$. Por ejemplo, si $K=\mathbb{Z}_2=\{0,1\}$, entonces eso produciría el polinomio $(X-1)X=X^2-X=X^2+X$ que formalmente es $(0,1,1,0,0,\ldots)$.

Claramente $f(x)=0$ para todo $x\in K$ lo que significa que $f$ es una constante $0$ como una función $f:K\to K$. Pero como polinomio $f(X)$ no es cero de grado positivo $m$.

También hay que tener en cuenta que sobre campos infinitos estos dos coinciden. De hecho, hay un epimorfismo de anillos $K[X]\to K\{X\}$ con polinomios en el lado izquierdo y funciones polinomiales en el lado derecho. El núcleo es no trivial si y solo si $K$ es finito. Y en ese caso es igual al ideal principal $\langle (X-a_1)\cdots(X-a_m)\rangle$.

En particular siempre hay infinitos polinomios. Pero podría haber finitas funciones polinomiales, dependiendo del anillo subyacente de escalares.