Tres líneas de a misma velocidad forman un triángulo. ¿Cuál es la fórmula de sus longitudes en el tiempo t?

Question

Tres infinitas líneas en un plano formando un triángulo donde se cruzan. Las líneas están viajando perpendicular a su longitud a una velocidad constante $v=1$ tales como el triángulo es cada vez más pequeño.

Las longitudes de los lados del triángulo en el momento $t=0$ se $(x_0,y_0,z_0)$. Encontrar las longitudes de los lados de $t$.

Esta es una pregunta que me he inventado, mientras que el pensamiento acerca de la física. Los puntos adicionales para una solución intuitiva sin el uso de vectores.

Considerando el diagrama espacio-temporal en algún momento $t$ todas las tres líneas de encontrar un punto formando una pirámide triangular en el espacio-tiempo. Tal vez esto le da una pista para resolverlo.

Answer 1

Poner la incentre en el origen, el resultado es simplemente homotecia <span class="math-container">$r(t)=r(0)-t$</span> <span class="math-container">$t<r> (donde <span class="math-container">$r(t)$</span> es el inradio en tiempo <span class="math-container">$t$</span>) y por lo tanto también en el lado de longitudes <span class="math-container">$x(t)=x(0)(1-\frac{t}{r(0)})$</span>, etcetera.</r></span>

Answer 2

Un poco más de una respuesta definitiva..........

$$x_t = x\ (1 - \frac{2 V\cdot t}{(x+z-y)\tan(\frac{A}{2})})$$

$$\text{where}\ z\ge y\ge x\ \text{and}\ (x+z-y)\tan(\frac{A}{2})\ge V\cdot t$$

Sustituto $y$ e $y_t$o $z$ e $z_t$ para $x$ e $x_t$ conseguir $y_t$ o $z_t$ en la fórmula de arriba.