Probar el orden de un grupo es par

Question

Estoy tratando de resolver esta cuestión y quería saber si mi prueba era correcta.

Supongamos que $n \geq 3$, $n$ es impar, $G$ es no trivial de grupo y $\varphi : D_{2n} \rightarrow G$ es un surjective homomorphism.

(a) Probar que $|G|$ es incluso. (b) Probar que cada normal y adecuada subgrupo de $G$ ha extraña orden.

Mi intento para un: Desde $G$ no es trivial y es igual a $\varphi(D_{2n})$, entonces cualquiera de las $\varphi(s) \not = 1$ o $\varphi(r) \not = 1$. Si $\varphi(s) \not = 1$, luego tenemos a $\varphi(s)^2 = 1$ y hemos encontrado un elemento de orden 2 en $G$ por lo que debe ser. Si $\varphi(r) \not = 1, \varphi(s) = 1$, entonces tenemos que $\varphi(sr) = \varphi(r^{-1}s) \Rightarrow \varphi(s)\varphi(r) = \varphi(r)^{-1}\varphi(s) \Rightarrow \varphi(r) = \varphi(r)^{-1} \Rightarrow \varphi(r)^2 = 1$ y desde $\varphi(r) \not = 1$, nos hemos encontrado de nuevo un elemento de orden 2 en $G$.

Mi intento por b: no estoy seguro acerca de esto, pero por primera vez me tenga en cuenta que por el primer teorema de isomorfismo, $G \cong D_{2n}/\ker(\varphi)$. Cualquier subgrupo normal de $G$ ahora tiene que ser isomorfo a uno de $D_{2n}/\ker(\varphi)$. Luego, por la cuarta teorema de isomorfismo, tiene que ser isomorfo a un subgrupo normal de $D_{2n}$. Ahora no sé cómo proceder.

Answer 1

Ahora tomar cualquier normal y adecuada de los subgrupos $H$ de $D_{2n}$. Lo que han demostrado es que $D_{2n}/H$ incluso ha pedido. decir $2m$.

Ahora $|D_{2n}|=|D_{2n}/H||H|=2n \Rightarrow 2m|H|=2n \Rightarrow m|H|=n$

Desde $n$ es impar, $|H|$ es también impar. Por lo que cualquier normal y adecuada subgrupos de $D_{2n}$ tienen impar orden si $n$ es impar.