$\lim_{n\to\infty}\left(\sum_{k=0}^{n-1}(\zeta(2)-H_{k,2})-H_n\right)=1$

Question

He encontrado este límite en un libro, sin ningún tipo de explicación:

$$\lim_{n\to\infty}\left(\sum_{k=0}^{n-1}(\zeta(2)-H_{k,2})-H_n\right)=1$$

donde $H_{k,2}:=\sum_{j=1}^k\frac1{j^2}$. Sin embargo Im no se puede encontrar el valor de este límite de mí mismo. Después de algo de trabajo puedo obtener el equivalente de la expresión

$$\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^{n-1}\sum_{j=k}^\infty\frac1{(j+1)^2(j+2)}$$

pero de todos modos estoy atascado aquí. Puede que alguien me muestre una manera de calcular este límite? Gracias.

ACTUALIZACIÓN: Wolfram Mathematica calcula el valor de ti perfectamente, así que supongo que hay algunos integral o algebraica de la identidad desde la que desea calcular.

Answer 1

Veamos:

<span class="math-container">$$\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^{n-1}\left(\zeta(2)-Hk^{(2)}\right) &=& \zeta(2)+\sum{k=1}^{n-1}\left(\zeta(2)-Hk^{(2)}\right)\&\stackrel{\text{SBP}}{=}&\zeta(2)+(n-1)(\zeta(2)-H{n-1}^{(2)})+\sum{k=1}^{n-2}\frac{k}{(k+1)^2}\&=&\zeta(2)+(n-1)(\zeta(2)-H{n-1}^{(2)})+(H{n-1}-1)-\sum{k=1}^{n-2}\frac{1}{(k+1)^2}\&=&n( \zeta(2)-H{n-1}^{(2)})+H{n-1}\end{eqnarray}$ $</span> por lo tanto, a que la afirmación es equivalente

<span class="math-container">$$ \lim{n\to +\infty} n(\zeta(2)-H{n-1}^{(2)}) = \lim{n\to +\infty}n\sum{m\geq n}\frac{1}{m^2} = 1 $ $</span> que es bastante claro desde <span class="math-container">$\sum{m\geq n}\frac{1}{m^2} = O\left(\frac{1}{n^2}\right)+\int{n}^{+\infty}\frac{dx}{x^2}=\frac{1}{n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)$</span>.
<span class="math-container">$\text{SBP}$</span> es sinónimo de suma de partes, por supuesto.

Answer 2

Teniendo en cuenta su última expresión <span class="math-container">$$an=\sum{k=0}^{n-1}\sum{j=k}^\infty\frac1{(j+1)^2(j+2)}$ $</span> <span class="math-container">%#% $ #%</span> lo <span class="math-container">%#% $ #%</span> la expansión de que ser <span class="math-container">$$\sum{j=k}^\infty\frac1{(j+1)^2(j+2)}=\psi ^{(1)}(k+1)-\frac{1}{k+1}$ $</span>