Encontrar la integral definitiva $ \int_1 ^e \frac {dx}{x \sqrt {1+ \ln ^2x}}$

Question

Así que tengo el siguiente problema:

$$ \int_1 ^{e} \frac {1}{x \sqrt {1+ \ln ^2x}}dx $$

¿Puede alguien comfirmado que la integral de esto es

$$ \ln | \sqrt {1+ \ln ^2x}+ \ln x|+C$$

y yo que el anwser es $$ \ln | \sqrt {2}+1|$$ que es aproximadamente 0,8814

¿Alguien más tiene el mismo navegador?

Answer 1

Pista . Se puede realizar el cambio de variable $$ u= \ln x, \qquad du= \frac {dx}x, $$ dando $$ \int \frac {1}{x \sqrt {1+ \ln ^2x}}\:dx= \int \frac {du}{ \sqrt {1+u^2}} $$ entonces uno puede notar que $$ \left [ \ln \left (u+ \sqrt {1+u^2} \right ) \right ]'= \frac {1+ \frac {u}{ \sqrt {1+u^2}}}{u+ \sqrt {1+u^2}}= \frac {1}{ \sqrt {1+u^2}}. $$

Answer 2

una vez que preformamos el cambio de variables $u= \log x$ Por supuesto que tenemos $$I= \int\frac { \mathrm {d}u}{ \sqrt {1+u^2}}$$ Que puede ser computada usando la siguiente identidad con funciones de trigonometría hiperbólica: $$ \cosh ^2t- \sinh ^2t=1$$ Sustitución, cariño: $u= \sinh t \Rightarrow \mathrm {d}u= \cosh t\ \mathrm {d}t$ $$I= \int\frac { \cosh t\ \mathrm {d}t}{ \sqrt {1+ \sinh ^2t}}$$ $$I= \int\frac { \cosh t\ \mathrm {d}t}{ \sqrt { \cosh ^2t}}$$ $$I= \int\frac { \cosh t\ \mathrm {d}t}{ \cosh t}$$ $$I= \int\mathrm {d}t$$ $$I=t$$ $$I= \text {arcsinh}\,u$$ $$I= \text {arcsinh}\, \log x$$ Notando que $$ \text {arcsinh}\,x= \log\big ( \sqrt {x^2+1}+x \big )$$ Por supuesto que proporciona la integral: $$I= \log\bigg ( \sqrt { \log ^2x+1}+ \log x \bigg )$$ QED

Recuerde que $ \log x$ es el logaritmo natural.

Editar:

añadiendo las barras de valor absoluto de esta manera: $$I= \log\bigg | \sqrt { \log ^2x+1}+ \log x \bigg |$$ Amplía el dominio del antiderivado, lo cual es útil si es necesario.