Circumradio de un triángulo equilátero perturbado

Question

Considere la posibilidad de un triángulo equilátero $ABC$ con longitudes de lados 1, en la foto con su circunferencia circunscrita descritos. Su circunradio se $1/\sqrt{3}$.

Ahora imaginemos que permiten a cada vértice para moverse dentro de un disco de radio $\rho$ centrada en ese vértice. Terminamos con un nuevo triángulo $A'B'C'$, que, por ejemplo, $A' \in B(A,\rho)$, el disco con el centro $A$ y radio de $\rho$.

La pregunta es simple:

¿Cuál es el máximo circunradio de la perturbado triángulo $A'B'C'$?

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De acuerdo a la Existencia de Gibbsian punto de procesos con el dependiente de la geometría de las interacciones (aunque yo no recomendaría mirar a través del papel, cualquier conocimiento, como se trata de un tema completamente diferente y no se dan detalles sobre este problema) el máximo circunradio, para $\rho \leq \sqrt 3 /6$, es $$1/\sqrt{3} + \rho$$ Que es una solución muy simple, pero a pesar de que intuitivamente tiene sentido para mí, realmente no puedo convencerme a mí misma de que o probarlo. También conduce a una cuestión secundaria

Lo que sucede en el $\rho = \sqrt3/6$? ¿Cómo funciona la solución de cambio para $\rho > \sqrt3 / 6$?

De manera intuitiva lo que creo que pasa es que para lo suficientemente pequeño $\rho$ la solución es todavía un triángulo equilátero, pero después de un cierto punto (probablemente $\rho = \sqrt 3/6$) este no es el caso, como el movimiento de los puntos más próximos a la colinealidad producirá un mayor circunradio, hasta que finalmente en $\rho = \sqrt3/4$de los puntos que puede llegar a ser colineales.

Answer 1

¿Por qué el circunradio se maximiza cuando los tres perturbado puntos están en el límite de los círculos pequeños
Supongamos que los círculos pequeños son distintos, no hay ninguna línea de intersección de los tres círculos, puntos de $A'$ e $B'$ son fijos y $C'$ no está en el límite de su círculo (es decir, un barrio dentro de un círculo de $C$). El circunradio es diferenciable, no constantes de la función de las coordenadas de $C'$. Por lo tanto, debe haber alguna perturbación de $C'$, en el citado barrio, que aumenta el circunradio – no hay extremos locales para impedir esta modificación debido a que los conjuntos de nivel de la circunradio función sólo puede ser tan pequeño como el círculo con diámetro de $A'B'$, mientras que arbitrariamente pequeños conjuntos de nivel puede ser dibujado alrededor de un local del extremo.

Así, el circunradio sólo puede ser maximizada cuando $A',B',C'$ están en los límites de sus círculos, en que punto de la circunferencia circunscrita es tangente a los tres pequeños círculos.

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Ahora el problema se reduce a determinar cuál de los dos círculos – $\Gamma_3$ internamente tangente a los tres pequeños círculos, o $\Gamma_2$ internamente tangente a sólo dos es más grande:

(Se puede demostrar fácilmente que el correspondiente $\Gamma_1$ e $\Gamma_0$ nunca mayor que $\Gamma_3$; elegimos los vértices de $\triangle A'B'C'$ como los puntos de tangencia.) Es fácil mostrar que $r(\Gamma_3)=\frac1{\sqrt3}+\rho$, ya que es concéntrica con el original de triángulo equilátero, que ha circunradio $\frac1{\sqrt3}$. Para determinar el radio de $\Gamma_2$, dibujamos otro diagrama:

De esto se deriva la ecuación $$\frac{\sqrt3}2-\rho+k-\rho=\sqrt{\frac14+k^2}$$ $$(k+\sqrt3/2-2\rho)^2=k^2+(\sqrt3-4\rho)k+(\sqrt3/2-2\rho)^2=\frac14+k^2$$ $$(\sqrt3-4\rho)k+\frac34-2\sqrt3\rho+4\rho^2=\frac14$$ $$k=\frac{-\frac12+2\sqrt3\rho-4\rho^2}{\sqrt3-4\rho}$$ $$r(\Gamma_2)=\frac{-\frac12+2\sqrt3\rho-4\rho^2}{\sqrt3-4\rho}+\frac{\sqrt3}2-\rho=\frac{1-\sqrt3\rho}{\sqrt3-4\rho}$$ Ahora donde este es mayor que $r(\Gamma_3)$? $$\frac{1-\sqrt3\rho}{\sqrt3-4\rho}=\frac1{\sqrt3}+\rho$$ $$1-\sqrt3\rho=(1/\sqrt3+\rho)(\sqrt3-4\rho)=1-4/\sqrt3\rho+\sqrt3\rho-4\rho^2$$ $$4\sqrt3\rho^2-2\rho=0\qquad\rho=\frac{\sqrt3}6$$ Por lo tanto, por encima de este valor crítico $\Gamma_2$ es mayor y viceversa.

La asíntota vertical de $r(\Gamma_2)=\frac{1-\sqrt3\rho}{\sqrt3-4\rho}$ viene a $\rho=\frac{\sqrt3}4$; y por encima de este valor podemos elegir tres puntos colineales.

Así, el máximo circunradio de $\triangle A'B'C'$es $$\begin{cases}\frac1{\sqrt3}+\rho&\rho<\frac{\sqrt3}6\\ \frac{1-\sqrt3\rho}{\sqrt3-4\rho}&\frac{\sqrt3}6\le\rho<\frac{\sqrt3}4\\ \infty&\rho\ge\frac{\sqrt3}4\end{casos}$$