He utilizado la raíz de la prueba para la serie $$ \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{\cos n}{2}\right)^n. $$ Me mostró que $$ 0 \le \left|\frac{\cos(n)}{2}\right| \le \frac{1}{2} \implica \lim_{n\to\infty}\left|\frac{\cos(n)}{2}\right| \le \frac{1}{2} < 1. $$ Por la raíz de la prueba, la serie converge absolutamente. Mi profesor me dijo que la falla aquí es que el límite anterior no existe. Estoy de acuerdo en que el límite no existe porque el $\lvert\frac{\cos n}{2}\rvert$ oscila entre los $0$ e $\frac{1}{2}$. Sin embargo, no veo por qué mi argumento no funciona aquí. Ella me sugirió que el uso de la prueba de comparación y comparar la serie con $\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n$. Por la prueba de comparación, el original de la serie converge absolutamente. Es una coincidencia que el "pseudo" la raíz de la prueba he utilizado dio la misma respuesta que la prueba de comparación? Podemos decir que si $\lvert a_n\rvert^{\frac{1}{n}}<1$, a continuación, $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ converge absolutamente? Agradezco cualquier ayuda en este.
Respuestas
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La raíz de la prueba puede ser utilizado sin la secuencia de tener un límite. Precisamente,
si existe el $N$ e $c<1$ con $\sqrt[n]{|a_n|}\le c$ para todos los $n>N$, entonces la serie $\sum_{n=0}^\infty a_n$ es absolutamente convergente.
De hecho, en este caso se puede comparar directamente la serie con una serie geométrica convergente. Cuando $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=l$ existe y es $<1$, entonces el criterio anterior se aplica, porque se puede tomar $c=(l+1)/2$.
Si hubiera utilizado el extendido "criterio", en lugar de indicar que $\lim_{n\to\infty}\lvert\frac{\cos n}{2}\rvert\le \frac{1}{2}$, estaría en lo correcto.
Tenemos que
PS
y $$ \left|\left(\frac{\cos n}{2}\right)^n\right|\le \frac1{2^n}$ es una serie geométrica convergente, no necesitamos prueba de raíz aquí.
De todos modos también podemos aplicar la prueba de raíz a la serie original en la forma general por definición de limsup
PS
Y concluye que la serie converge.
