¿Deben modificarse las ecuaciones de Navier Stokes no relativistas para que sean invariantes pseudo-Lorentz?

Question

El flujo másico de asfixia parece reflejar el hecho de que la densidad del momento del fluido tiene un valor máximo (en condiciones estacionarias) igual a $\rho_* c_*$ donde $\rho_*$ es la densidad de masa crítica y $c_*$ es la velocidad crítica, que está estrechamente relacionada con la velocidad del sonido (véase Landau-Lifchitz, "Fluid Mechanics", sección 83).

Si este resultado también es válido para los flujos transitorios, ¿no implicaría que las ecuaciones de Navier-Stokes deberían modificarse para que presentaran explícitamente una simetría pseudo-lorentziana (en la densidad de momento) en lugar de una simetría galileana?

El campo de densidad de momento se convertiría entonces en explícitamente causal.

El campo de velocidad no parece tener mucho sentido si se separa del campo de densidad de masa.

Lo que tengo en mente era el hecho de que, en un flujo de fluido estacionario, a partir de consideraciones termodinámicas, se puede demostrar que:

$$\frac{d(\rho v)}{dv}=\rho\big[1-\frac{v^2}{c^2}\big]$$

Landau y Lifhchitz, "Fluid Mechanics", sección 83.

donde $\rho$ es la densidad de masa, $v$ la velocidad local y $c$ la velocidad local del sonido.

Esto indica que la densidad de momento tiene un máximo, al menos en los flujos estacionarios (donde la velocidad local es igual a la velocidad local del sonido).

Dado que las ecuaciones de Navier-Stokes de momento son invariantes galileanas, un gradiente de presión suficientemente grande debería permitir alcanzar mayores densidades de momento y esto contradice la ecuación anterior.

Me preguntaba si no habría que imponer la máxima densidad de momento local como una simetría pseudo-lorentziana. (En los flujos incompresibles, al menos, creo que sí es necesario hacer cumplir esta simetría).

Answer 1

Existe una amplia literatura sobre la hidrodinámica disipativa relativista, que modifica las ecuaciones de Navier-Stokes para adaptarlas a la relatividad. Hay varias formas no equivalentes de hacerlo, y sólo algunas de ellas conducen a una teoría causal. Un artículo de Van y Viro https://arxiv.org/abs/1109.0985 (uno de los muchos) ofrece muchas referencias recientes. Véase también el libro '' Termodinámica racional ampliada '' de Müller y Ruggeri.

Answer 2

En primer lugar, hay que señalar que la simetría de Lorentz esperada debería ser local en lugar de global. Esto podría entenderse considerando dos regiones diferentes del flujo con cantidades físicas idénticas, excepto la dirección del flujo. La simetría de Lorentz debe ser diferente para esos puntos de manera que no global redifinición de las variables podría lograr. Así que debemos estar tratando con un punto (y tiempo) dependiente, curvado La geometría lorentziana, en otras palabras, los objetivos de OP se lograrían reformulando las ecuaciones de Navier-Stokes de Euler en términos de modelo analógico de la gravedad .

Otro punto a tener en cuenta es que la no lineal La dinámica de fluidos (al menos para ecuaciones de estado arbitrarias) probablemente no permitiría la formulación en términos de objetos covariantes (bajo la nueva simetría lorentziana). Así que, como mínimo razonable, se podría esperar que que aparezca una geometría lorentziana en las ecuaciones linealizadas para las perturbaciones, aunque es posible que aparezca una descripción no lineal más completa bajo ciertas condiciones (ecuación de estado, geometría del flujo).

Y de hecho ya se ha hecho algo así. En el artículo de 1980 de Unruh se ha observado una semejanza entre el agujero negro y el horizonte sónico del flujo transónico. Desde entonces se han realizado muchos trabajos sobre la gravedad acústica analógica. Para una simple introducción, consulte los artículos [1, 2], y para un estudio más extenso de la literatura (y muchos otros modelos analógicos de gravedad) una revisión [3].

Del documento [2]:

Si un fluido es barotrópico e invisible, y el flujo es irrotacional (aunque posiblemente dependa del tiempo) entonces la ecuación de movimiento para el potencial de velocidad que describe una perturbación acústica es idéntica a la ecuación de movimiento d'Alembertiana para un campo escalar sin masa mínimamente acoplado sin masa que se propaga en un $(3+1)$ -lorentziana de dimensiones. geometría lorentziana \begin{equation} \Delta \psi \equiv {1\over\sqrt{-g}} \partial_\mu \left( \sqrt{-g} \; g^{\mu\nu} \; \partial_\nu \psi \right) = 0. \end{equation}

La métrica lorentziana efectiva (acústica) $g_{\mu\nu}$ sería \begin{equation} g_{\mu\nu} \equiv {\rho_0 \over c} \left[ \matrix{-(c^2-v_0^2)&\vdots&-v_0^j\cr \cdots\cdots\cdots\cdots&\cdot&\cdots\cdots\cr -v_0^i&\vdots&\delta_{ij}\cr } \right]. \end{equation}

De forma equivalente, puede expresarse como \begin{equation} ds^2 \equiv g_{\mu\nu} \; dx^\mu \; dx^\nu = {\rho_0\over c} \left[ - c^2 dt^2 + (dx^i - v_0^i \; dt) \; \delta_{ij} \; (dx^j - v_0^j \; dt ) \right]. \end{equation}

Nótese que la ecuación anterior para la perturbación está en términos del potencial de velocidad escalar en lugar de la densidad de momento, pero es posible construir objetos tensoriales covariantes apropiados y escribir ecuaciones covariantes para ellos. Otra cosa a tener en cuenta, es que la inclusión de la viscosidad romperá la nueva simetría de Lorentz del modelo (ver sección 12 de [2]).

1. Visser, M. (1993). Propagación acústica en fluidos: un ejemplo inesperado de geometría lorentziana . arXiv:gr-qc/9311028 .

2. Visser, M. (1998). Agujeros negros acústicos: horizontes, ergósferas y radiación de Hawking . Classical and Quantum Gravity, 15(6), 1767, doi:10.1088/0264-9381/15/6/024 , arXiv:gr-qc/9712010 .

3. Barcelo, C., Liberati, S., & Visser, M. (2011). Gravedad analógica . Revistas vivas en relatividad, 14(1), 3, doi:10.12942/lrr-2011-3 .

Answer 3

Por supuesto, a medida que la velocidad del fluido se aproxima a la de la luz, la dinámica de fluidos no relativista debe ser sustituida por una teoría invariante de Lorentz. Sin embargo, para los fluidos ordinarios (eso excluye los plasmas relativistas) la velocidad del sonido es mucho menor que la de la luz y la dinámica de fluidos invariante galileana ordinaria debería ser perfectamente buena.

La ecuación que citas implica algunas suposiciones, flujo constante, flujo adiabático y ausencia de discontinuidades (choques). Cuando se intenta aumentar el gradiente de presión, estas suposiciones no se mantienen necesariamente. En particular, el campo de velocidad puede aumentar hasta que se produzca un choque.

Como Landau señala más adelante en el libro (sección 97), la ecuación que usted discute $$ \frac{d(\rho v)}{dv} = \rho \left( 1-\frac{v^2}{c_s^2}\right) $$ tiene importantes consecuencias para el diseño de motores de cohetes. El mayor flujo de masa se produce en la constricción de la tobera, donde $v\sim c_s$ y entonces el flujo es supersónico en la parte de expansión de la tobera. Por lo tanto, se trata de una ecuación verificada empíricamente, no de una ecuación que se quiera modificar.

Por último, cabe destacar que en el régimen $v\sim c_s$ no se puede suponer que el flujo sea incompresible (la velocidad del sonido es la compresibilidad adiabativa del fluido).