Las otras respuestas son excelentes, pero permítanme añadir un par de
puntos.
En primer lugar, con una perspectiva histórica, todos los primeros
teoremas fundamentales del cálculo se demostró por primera vez a través de
métodos el uso de infinitesimals, en lugar de por el uso de métodos de
epsilon-delta argumentos, ya que los métodos no aparecen
hasta el siglo xix. El cálculo se procedió para
siglos en el infinitesimal de la fundación, y de los primeros
argumentos---cualquiera que sea su nivel de rigor---están más cerca de
sus modernas análogos en el análisis no estándar de
sus modernas análogos en epsilon-delta métodos. En este
sentido, uno podría razonablemente responder a su pregunta por
apuntando a cualquiera de estos primeros teoremas fundamentales.
Para estar seguro, el epsilon-delta métodos surgió en parte porque
los matemáticos se convirtió seguro fundamental de la validez
de infinitesimals. Pero ya no estándar de análisis de exactamente
proporciona la falta de legitimidad, la motivación original
para la adopción de epsilon-delta argumentos aparece a caer.
Segundo, si bien es cierto que casi cualquier aplicación de
no estándar de análisis en análisis puede llevarse a cabo utilizando
métodos estándar, lo contrario también es cierto. Es decir,
epsilon-delta argumentos a veces también puede ser traducido en
no estándar de análisis. Además, alguien planteó con
no estándar de análisis en sus matemático infancia
probablemente prefieran las cosas de esta manera. En este sentido, la
la preferencia entre los dos métodos pueden ser cultural
de crianza.
Por ejemplo, H. Jerome Keisler escribió un introductorios de cálculo
libro de texto llamados Elementales de Cálculo: un infinitesimal
enfoque, y el
este texto fue utilizado durante muchos años como el principal cálculo
libro de texto en la Universidad de Wisconsin, Madison. Yo
animo a echar un vistazo a este interesante texto,
que a primera vista parece como un ordinario cálculo de libros de texto,
salvo que en el interior de la cubierta, junto a los diversos
las fórmulas para las derivadas e integrales, también hay
lista de diversas reglas para el manejo de infinitesimals,
que rellenar el texto. Kiesler escribe:
Este es un libro de texto de cálculo en el Primer año en la universidad
nivel basado en Abraham Robinson infinitesimals, que
fecha a partir de 1960. Robinson moderno infinitesimal enfoque
pone las ideas intuitivas de los fundadores del cálculo
en un matemáticamente buen pie, y es más fácil para
a los principiantes a entender que el enfoque más común a través de
límites.
Finalmente, en tercer lugar, algunos pueden tomar su pregunta a suponer que
un propósito central de análisis no estándar es proporcionar
aplicaciones en el análisis. Pero esto no es correcto. El
concepto de modelos no estándar de la aritmética, de análisis
y de la teoría de conjuntos surgió en la lógica matemática y ha crecido
en todo el campo, con cientos de artículos y muchos
los libros, con sus propios problemas y preguntas y métodos,
muy divorciada de cualquier aplicación de los métodos en otros
partes de las matemáticas. Por ejemplo, el tema de los Modelos de
de
Aritmética
se centra en la comprensión de los modelos no estándar de la
primer fin de Axiomas de Peano, y tiene poco sentido
el análisis de estos modelos utilizando sólo los métodos estándar.
Para mencionar sólo algunos fascinante clásicos teoremas: cada
contables modelo no estándar de la aritmética es isomorfo a
una adecuada segmento inicial de la misma (H. Friedman). En virtud de la
Hipótesis continua, cada Scott conjunto (una familia de conjuntos de
números naturales cerrado bajo las operaciones Booleanas, Turing
reducibilidad y la satisfacción de Konig del lema) es el
colección de definibles conjuntos de números naturales de algunos
no estándar del modelo de la aritmética (D. Scott y otros).
No hay ningún modelo no estándar de la aritmética para que
la suma o la multiplicación es computable (S.
Tennenbaum). No estándar de los modelos de la aritmética también fueron
se utiliza para probar varios fascinante independencia de los resultados a lo largo de
PA, tales como los resultados en
Goodstein secuencias,
así como la
París-Harrington teorema en el
la independencia más que la PA de un fuerte teorema de Ramsey. Otro
interesante
resultado
muestra que las diversas formas de la encasillar a principio son
no equivalente más débil de la base de teorías; por ejemplo, la
débil pigeon-hole principio de que no hay bijection de n
a 2n no es comprobable sobre la base de la teoría de los más débiles
principio de que no hay bijection de n con
n2. Estas pruebas hacen fundamental el uso de
no estándar métodos, que parece difícil o
imposible omitir o traducir a los métodos estándar.
